2012年东北三省三校高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|-x²-3x＞0}，B={x|x＜-1}，则A∩B=（ ）
A．x{|-3＜x＜-1}
B．x{|-3＜x＜0}
C．x{|x＜-1}
D．x{|x＞0}

2. 难度：中等

已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

3. 难度：中等

直线x+ay+1=0与直线（a+1）x-2y+3=0互相垂直，则a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

4. 难度：中等

“λ＜1”是“数列a_n=n²-2λn（n∈N^*）为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则|PF|=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₅+a₆=4，则log₂=（ ）
A．10
B．20
C．40
D．2+log₂5

7. 难度：中等

阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

8. 难度：中等

盒子中放有编号为1，2，3，4，5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设α、β都是锐角，且cosα=，sin（α+β）=，则cosβ（ ）
A．
B．
C．或
D．或

11. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0）时，f（x）=-1，若在区间（-2，6）内的关于x的方程f（x）-logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（1，4）
C．（1，8）
D．（8，+∞）

12. 难度：中等

球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

由曲线y=2x²，直线y=-4x-2，直线x=1围成的封闭图形的面积为    ．

14. 难度：中等

如图所示一个几何体的三视图，则侧视图的面积为    ．

15. 难度：中等

存在两条直线x=±m与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2，且a＞b，求a，b的值．

18. 难度：中等

某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）单位：元）
（1）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）的居民数X的分布和数学期望．

19. 难度：中等

如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥CE；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

20. 难度：中等

设点P是曲线C：x²=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx．
（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：
（1）AD•AE=AC²；
（2）FG∥AC．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．
（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．
（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）求函数y=f（x）的最小值．