2012年湖北省天门市岳口高中高考数学冲刺试卷4（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，m、n∈R且m+i=1+ni，则=（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

下列命题中真命题的个数是（ ）
①∃x∈（-∞，0），使得2^x＜3^x成立；
②命题“若am²＜bm²，则a＜b”（ a，b，m∈R）的逆命题是真命题；
③若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；
④∀x∈（0，π），则sinx＞cosx．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

设（1-3x+2y）ⁿ的展开式中含y的一次项为，则a+a₁+…+a_n=（ ）
A．-n（-2）ⁿ
B．n（-2）ⁿ
C．-n•2^n-1
D．-n（-2）^n-1

4. 难度：中等

设{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2且a₁，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}的前5项和S₅=（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．1
B．-1
C．-2
D．0

6. 难度：中等

一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A．6
B．8
C．8
D．12

7. 难度：中等

某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）
A．31.6岁
B．32.6岁
C．33.6岁
D．36.6岁

8. 难度：中等

已知点P是抛物线x²=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M={x|a＜x＜b}，N={x|c＜x＜d}，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，ab＜cd＜0，则M⊕N=（ ）
A．（a，d）∪（b，c）
B．（c，a]∪[b，d）
C．（c，a）∪（d，b）
D．（a，c]∪[d，b）

10. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈Z}，B={（x，y）|x=m，y=3m²+12，m∈Z}．若存在实数a，b使得A∩B≠∅成立，称点（a，b）为“￡”点，则“￡”点在平面区域C={（x，y）|x²+y²≤108}内的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若•=4，则+的最小值为    ．

12. 难度：中等

有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是    ．

13. 难度：中等

已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为    ．

14. 难度：中等

下列所给命题中，正确的有    （写出所有正确命题的序号）
①任意的圆锥都存在两条母线互相垂直；
②在△ABC中，若，则∠C=30°或150°；
③关于x的二项式的展开式中常数项是24；
④命题P：∀x∈R，x²+1≥1；命题：q：∃x∈R，x²-x+1≤0，则命题P∧（￢q）是真命题；
⑤已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是．

15. 难度：中等

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．
（1）（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系下，已知直线l的方程为ρcos（θ-）=，则点M（1，）到直线l的距离为    ．
（2）（几何证明选讲选做题） 如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1．则圆O的面积为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n．

18. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：平面PAC平面BEF；
（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

19. 难度：中等

某人进行射击训练，击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：
①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；
②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=1n（ax+1）+（x≥0，a为正实数）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围．