2012年河北省衡水中学高考数学信息卷5（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x²＞1}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}

3. 难度：中等

2011年全国有24个省份提高了最低工资标准，为了了解城市居民的消费水平，某社会研究所对全国十大城市进行职工工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查，y与x具有相关关系，回归方程．某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A．83%
B．72%
C．67%
D．66%

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，若，则a₁₈=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=2ax²-x-1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x^2-a在（0，+∞）上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a≤2
C．1＜a≤2
D．a≤1或a＞2

6. 难度：中等

已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且，则α的正切值是（ ）
A．
B．-1
C．
D．2

7. 难度：中等

函数f（x）=2|sinx•cosx|•是（ ）
A．周期为的偶函数
B．周期为π的非奇非偶函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为的非奇非偶函数

8. 难度：中等

若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

9. 难度：中等

若直线l被圆x²+y²=4所截得的弦长为，l与曲线的公共点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．1个或2个
D．1个或0个

10. 难度：中等

函数f（x）的图象在定义域R上连续，若xf'（x）＜0，则下列表达式正确的为（ ）
A．f（-1）+f（1）=0
B．f（-1）+f（1）＜f（0）
C．f（-1）-f（1）＜f（0）
D．f（-1）+f（1）＜2f（0）

11. 难度：中等

已知函数把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．（n∈N^*）
B．a_n=n（n-1）（n∈N^*）
C．a_n=n-1（n∈N^*）
D．a_n=2ⁿ-2（n∈N^*）

12. 难度：中等

平面向量的集合A到A的映射f由f（）=确定，其中为常向量．若映射f满足对恒成立，则的坐标不可能是（ ）
A．（0，0）
B．（-，）
C．（-，）
D．（-，）

二、填空题

13. 难度：中等

某学校组织乒乓球比赛，甲班有5名男同学，3名女同学报名；乙班有6名男同学，2名女同学报名．若从甲、乙两班中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有    种．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=4px（p＞0），弦AB过焦点F，设|AB|=m，三角形AOB的面积为S，则S²=    （用含有m，p的式子表示）．

15. 难度：中等

已知点M（-3，0），N（3，0），圆C：（x-1）²+（y-a）²=a²（a＞0），过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

空间一条直线l₁与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，则另一条直线l₂与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则下列说法正确的是    ．
①此四棱柱必为正方体；
②l₁与四棱柱的各边所成的角也相等；
③若四棱柱为正四棱柱，l₁与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin²α+sin²β=1．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b²．
（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n（λ≠0，-1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若的值存在，求λ的取值范围．

19. 难度：中等

某地工商局对本地流通的某品牌牛奶进行质量监督抽查，结果显示，刚刚销售的一批牛奶合格率为80%．
（1）若甲从超市购得2瓶，恰都为合格品的概率；
（2）若甲每天喝2瓶牛奶，求三天中喝到不合格牛奶的天数的期望．

20. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中点．
（Ⅰ）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

21. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求圆C的标准方程
（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程；若不能，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．