2012年甘肃省兰州市高三诊断数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合U={x∈N|0＜x≤6}，M={1，4，5}，N={2，3，4}，则M∩（C_UN）=（ ）
A．{1，4，5，6}
B．{1，5}
C．{4}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

函数的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

4. 难度：中等

已知点P（x，y）（x，y∈R），则“x≥2且y≥2”是“点P（x，y）在圆x²+y²=4外”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．
B．
C．8
D．16

6. 难度：中等

曲线在点（0，-2）处的切线与直线x=0和y=x+2所围成的区域内（包括边界）有一动点P（x，y），若z=2x-y，则z的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，4]
C．[-4，-2]
D．[-4，2]

7. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ）与=（cosθ，-sinθ）互相垂直，且θ为锐角，则函数f（x）=sin（2x-θ）的图象的一条对称轴是直线（ ）
A．x=π
B．x=
C．x=
D．x=

8. 难度：中等

已知函数y=f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x-3，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜-1}∪{x|x＞3}
B．{x|x＜-3}∪{x|x＞1}
C．{x|x＜-3}∪{x|x＞3}
D．{x|-3＜x＜0}∪{x|x＞3}

9. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧面均为正方形，侧面AA₁C₁C的对角线相交于点M，则BM与平面AA₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

若函数，又f（α）=f（β）=2，且|α-β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正n棱柱有10条对角线那么n=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

12. 难度：中等

已知F为双曲线的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线上一点，O为坐标原点，已知，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

cos73°cos13°+cos17°sin13°=    ．

14. 难度：中等

三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是    ．

15. 难度：中等

展开式中不含 x⁴项的系数的和为    ．

16. 难度：中等

双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6．求：
（1）a_n；
（2）S_n的最小值．

18. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（A为锐角）．
（1）求A的大小；
（2）若a=1且，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，丙获奖而甲没有获奖的概率为．
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中至少有两人获奖的概率．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面ACC₁A₁是的菱形，且侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）若点E为AA₁上的一点，当CE⊥BB₁时，求二面角A-EC-B的正切值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a-6，f′（2）=-b-18，其中常数a，b∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性并指出相应的单调区间；
（2）若方程f（x）=k有三个不相等的实根，且函数g（x）=x²-2kx+1在[-1，2]上的最小值为-23，求实数k的值．

22. 难度：中等

已知点M是直线上的动点，为定点，过点M且垂直于直线的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直的直线l与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数a的取值范围．