2012年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac²＞bc²”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知复数z满足z（1+i）=1-i（i为虚数单位），则z等于（ ）
A．i
B．-i
C．2-i
D．2+i

3. 难度：中等

某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A．35
B．25
C．15
D．7

4. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（0，π），sinx＞cos
C．∃x∈（-∞，0），2^x＜3^x
D．∀x∈（0，+∞），e^x＞x+1

5. 难度：中等

对于平面α和两条不同的直线m，n，下列命题中真命题是（ ）
A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

6. 难度：中等

如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A．i≤2012
B．i＞2012
C．i＜1010
D．i＞I010

7. 难度：中等

若点（m，n）在直线4x+3y-10=0上，则m²+n²的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

8. 难度：中等

如图曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A．288个
B．240个
C．144个
D．126个

11. 难度：中等

已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，ϕ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b＜c，若实数x是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）
A．x＜a
B．x＞b
C．x＜c
D．x＞c

二、填空题

13. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=    ．

14. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧面均为正方形，侧面AA₁C₁C的对角线相交于点A，则BM与平面AA₁C₁C所成角的大小是    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为    ．

16. 难度：中等

给出下列三个命题：
①若直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
②双曲线的离心率为；
③若，则这两圆恰有2条公切线；
④若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）+9-0互相垂直，则a=-1．
其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列的前n项和为T_n，求T_n．

18. 难度：中等

已知函数．
（I）若，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．
（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；
（II）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M、N分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图（3）是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏．

（1）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（II）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件个数与小球没有停在阴影部分的事件个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

21. 难度：中等

已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-lnx（a＞．
（I）求证f（x）≥1+lna；
（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x₁）=f（x₂），求实数a的取值范围．