2011-2012学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|4x-x²＞0，x∈Z}，则A∩B等于（ ）
A．（1，2）
B．[1，2]
C．（1，2]
D．{1，2}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，若（1+i）•z=i，则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“a=2”是“直线（a²-a）x+y=0和直线2x+y+1=0互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设数列{a_n}满足：，且前n项和为S_n，则的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．2

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），…；若程序运行中输出的一个数组是（x，-10），则数组中的x等于（ ）

A．64
B．32
C．16
D．8

6. 难度：中等

给出下列命题：
①如果不同直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不相交；
②如果不同直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定平行；
③如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n．
④如果平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α则n⊥β．
则真命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

7. 难度：中等

已知函数（a∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．∃a∈R，f（x）有最大值f（a）
B．∃a∈R，f（x）有最小值f（0）
C．∀a∈R，f（x）有唯一零点
D．∀a∈R，f（x）有极大值和极小值

8. 难度：中等

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）
A．
B．
C．1
D．2

二、填空题

9. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则=    ．

10. 难度：中等

已知向量、的夹角为60°，，则=    ．

11. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

若双曲线的左、右顶点分别是A₁，A₂，线段A₁A₂被y²=bx的焦点分为3：1两段，则此双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列命题：
①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；
②函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数，
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又a=2，，b c=，求△ABC的周长．

16. 难度：中等

《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A、B、C三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个工作小组抽取5名工作人员来完成．
（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有A组工作人员的概率．

17. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-x+（a∈R）．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当a≤0时，若任意给定的x∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x）成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范围．

20. 难度：中等

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞4020的n的最小值．