2011-2012学年湖北省仙桃市高三（下）5月仿真模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数在复平面内对应点为A，方程z²+z+1=0的两个根在复平面内对应点分别为B、C，则向量对应的复数为（ ）
A．-2-i
B．-1-i
C．-1-2i
D．-2-2i

2. 难度：中等

已知命题p：“不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立”，命题q：“a≤2”，则P是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

某程序框图（如图）输出的S是42，则①应为（ ）

A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．112
B．80
C．72
D．64

5. 难度：中等

已知偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=+lnx（e=2.7182…为自然对数的底），则函数f（x）的零点不可能在区间（ ）内．
A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（-，）
D．（，1）

6. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则ϖ等于（ ）

A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

已知区域M：{（x，y）||x|+|y|≤2}，N：{}，某人向区域M随机投掷一点P，则点P正好落在区域N的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是双曲线3x²-y²=3a²（a＞0）的左、右焦点，P是抛物线y²=8ax与双曲线的一个交点，满足|PF₁|+|PF₂|=12，则a的值为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

已知三个数列{F_n}，{k_n}，{r_n}满足：F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，则r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=（ ）
A．1517
B．1511
C．1507
D．1509

二、填空题

11. 难度：中等

已知二项式展开式的常数项为，则a=    ．

12. 难度：中等

已知空间直角坐标系0-xyz中的动点P（x，y，z）满足：x+y+z=1，则|OP|的最小值等于    ．

13. 难度：中等

患感冒与昼夜温差大小相关，居居小区诊所的某医生记录了四月份四个周一的温差情况与因患感冒到诊所看病的人数如下表：

昼夜温差x（℃）	11	13	12	8
感冒就诊人数y（人）	25	29	26	16

用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为    ．
（参考公式：．）

14. 难度：中等

设区间（0，1）内的实数x对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个圆，使两端A、B恰好重合，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），射线AM与ox轴交于点N（f（x），0）根据这一映射法则可得f（x）与x的函数关系式为    ．

15. 难度：中等

选做题：考生在下面两小题中，任选一道作答，如果全做则按第1小题评分．
（1）《几何证明选讲》选做题
如图，半径分别为a和3a的圆O₁与圆O₂外切于T，自圆O₂上一点P引圆O₁的切线，切点为Q，若PQ=2a，则PT=    ．
（2）《坐标系与参数方程》选做题
从极点O作射线交直线ρcosθ=3于点M，P为线段OM上的点，且|OM|•|OP|=12，则P点轨迹的极坐标方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=
（I）若△ABC的面积等于；
（II）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=BB′=a，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（I）求证：A′F⊥AB′．
（II）当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B-B′F-E的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，且a₁=8，S_n=16-ka_n，n∈N^*．
（I）求k的值及a_n；
（II）设f（n）=，b_n=f（2ⁿ+1）（n∈N^*）
（i）求b_n；      
（ii）令c_n=（b_n-3）log₂a_n，求{c_n}的前n项和为T_n．

20. 难度：中等

已知P是圆F₁：（x+1）²+y²=16上的动点，点F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线l与半径F₁P交于点Q．
（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程．
（II）已知点M（1，），A、B在（1）中所求的曲线C上，且（λ∈R，O是坐标原点），
（i）求直线AB的斜率；
（ii）求证：当△MAB的面积取得最大值时，O是△MAB的重心．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-x；
（I）求证：对∀a＞0，f（x）≤ax²；
（II）证明：ln（n+1）≤，（n∈N^*）；
（III）求证：对∀t∈R，e^2x-2t（e^x+x）+x²+2t²-≥0．