2011-2012学年湖南省邵阳市洞口二中高三（下）集中训练数学试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={y|y=2^x，x∈R}，集合S={x|y=lg（x-1）}，则下列各式中正确的是（ ）
A．M∪S=M
B．M∪S=S
C．M=S
D．M∩S=Φ

2. 难度：中等

复数的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知P、Q是以C为圆心，半径为的圆上两点，且，则等于（ ）
A．
B．
C．0
D．

4. 难度：中等

若函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的图象关于点对称，且在
处函数有最小值，则a+ω的一个可能的取值是（ ）
A．0
B．3
C．6
D．9

5. 难度：中等

过双曲线的右焦点作直线l交双曲线与A，B两点．若使|AB|=λ（λ为实数）的直线l恰有三条，则λ=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．

6. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α，β，γ的大小关系是（ ）

A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ
D．γ＜β＜α

7. 难度：中等

已知f（x）=（x-2011）（x+2012）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（0，）
D．（0，）

8. 难度：中等

过点P（1，1）作曲线y=x³的两条切线l₁、l₂，设它们的夹角为θ，则tanθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知点P是椭圆C：上的动点，F₁，F₂分别为左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A．
B．[0，2）
C．
D．

10. 难度：中等

已知a，b是正数，a²b²=12，则a²+ab+b²的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为    ．

12. 难度：中等

某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x（单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是   

13. 难度：中等

设k是一个正整数，的展开式中x³的系数为，则函数y=x²与y=kx-3的图象所围成的阴影部分（如图）的面积为    ．

14. 难度：中等

已知随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差Dξ的最大值为    ；

ξ		1	2
P	y	0.4	x

15. 难度：中等

在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l与圆ρ=4相交于A、B两点，若|AB|=4，则直线l的极坐标方程为     ．

16. 难度：中等

∀x∈R，且x≠0．不等式恒成立，则实数a的取值范围是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC的面积为3，且满足，设和的夹角为θ．
（I）求θ的取值范围；
（II）求函数的最大值与最小值．

18. 难度：中等

上海世博会在游客入园参观的试运营阶段，为了解每个入口的通行速度，在一号入口处随机抽取甲、乙两名安检人员在一小时内完成游客入园人数的8次记录，记录人数的茎叶图如图：
（1）现在从甲、乙两人中选一人担任客流高峰阶段的安检员，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位安检员参加合适？请说明理由；
（2）若将频率视为概率，甲安检员在正式开园的一个工作日的4小时内，每个单位小时段安检人数高于80人的次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点F是线段BC上的动点，设平面PFE与平面PBE所成的平面角大小为θ，当θ在内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的范围．

20. 难度：中等

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足S_n=，S_n是{a_n}的前n项的和，a₂=1．
（1）求S_n；（2）证明：