2011-2012学年河南省洛阳市示范高中高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

下列函数中，在（-1，1）内有零点且单调递增的是（ ）
A．
B．y=2^x-1
C．
D．y=-x³

3. 难度：中等

阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

4. 难度：中等

先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（-1，1）的夹角θ＞90°的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知tana=2，则的值为（ ）
A．-3
B．3
C．-2
D．2

6. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m²）．（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设等差数列{a_n}前n项和为S_n，若S₉=72，则a₂+a₄+a₉=（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36

9. 难度：中等

已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

三棱锥S-ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．16π
D．64π

11. 难度：中等

若a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设=+（λ，μ∈R），则λ+μ取值范围是（ ）
A．[1，2]
B．[2，4]
C．[2，+∞）
D．（-∞，1]

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数x、y满足条件则x-3y的最大值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）的图象向左平移m（m是正实数）个单位后，得到函数y=f′（x）的图象，则m的最小值为    ．

15. 难度：中等

若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是    ．

16. 难度：中等

下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：

父亲身高x（cm）	173	170	176
儿子身高y（cm）	170	176	182

因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为    ．
参考公式：回归直线的方程是：=x+，其中=，=-；其中y_i是与x_i对应的回归估计值．
参考数据：，．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b-c，cosC）且∥．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式的取值范围．

18. 难度：中等

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一
周三
周五

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a=0时，对于任意的n∈N₊，且n≥2，证明：不等式＞-．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

已知直线l：（t为参数），曲线C₁：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．