2012年河北省衡水中学高考数学信息卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若集合A={1，m²}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

令a_n为（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数，则数列{}的前n项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

将函数y=2^x的图象按向量平移得到图象C₁，再作出关于y=x对称的图象C₂，则C₂的解析式为（ ）
A．y=log₂（x-1）
B．y=log₂x-1
C．y=log₂x+1
D．y=log₂（x+1）

6. 难度：中等

2011年4月28日，世界园艺博览会（以下简称世园会）在西安顺利开幕，吸引了海内外的大批游客，游客甲、游客乙暑假去西安看世园会的概率分别为，假定他们两人的行动相互不受影响，则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知，则下列函数的图象对应函数正确的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数为偶函数，在函数的一个周期内，点A，B分别为函数的最低点和最高点，且，则ω，ϕ的值分别为（ ）

A．2π，0
B．π，
C．，0
D．π，0

9. 难度：中等

如图，非零向量=a，=b，且，C为垂足，设向量，则λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．2
C．
D．

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₆＞0，a₇＜0，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S₆＞S₇
B．S₁₃＜0
C．S₁₂＞0
D．S₁₂＞S₁₃

12. 难度：中等

春节假期期间，从正月初一休息到正月初七，共七天，某科室共有五人，每天安排一人值班，每人最多值两天，若值两天均要连续值班，且五人均值班，初一这一天由科长值班，则共有（ ）种值班的方法．（ ）
A．144
B．96
C．240
D．600

二、填空题

13. 难度：中等

若α为锐角，且，则=    ．

14. 难度：中等

如图，过抛物线y²=4x的焦点任作一条直线交抛物线于A，D两点，若存在一定圆与直线交于B，C两点，使|AB|•|CD|=1，则定圆方程为    ．

15. 难度：中等

某学校共有青年、中年、老年教师630人，为了调查各年龄段老师的身体状况，现抽取一个容量为n的样本，若样本中青年、中年、老年三年龄段老师的人数成等差数列，已知青年教师共240人，那么老年教师的人数为    ．

16. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为2，求b的值．

18. 难度：中等

甲乙丙丁戊五人做游戏，每人发一张写有一个号码的卡片（每人不知自己的卡片号码），然后去坐写有同样号码的五个凳子．
（1）求恰有一人坐的凳子与自己手中号码一致的概率；
（2）若坐凳子与自己手中号码一致，则获得奖金10元，记五人获得奖金数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥D′-ABCE中，底面为直角梯形，AB=2BC=2CE=2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥EB；
（2）若D′A⊥D′E，D′A=D′E，求直线AC与平面ABD′所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：{b_n}=，试求{b_n}的前n项和公式T_n；
（III）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为P_n，求证：P_n＞2n-．

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数：
（1）是否存在实数b，使得f（x）在为增函数，为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．