2012年安徽省蚌埠二中高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量=（1，x），=（-1，x），若2-与垂直，则||=（ ）
A．
B．
C．2
D．4

2. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

3. 难度：中等

若满足条件的整点（x，y）恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，若∃x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＞2
C．-2＜a＜2
D．a＞2或a＜-2

5. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（ ）

A．4
B．6
C．8
D．12

6. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，设向量=（a+b，sinC），=（a+c，sinB-sinA），若∥，则角B的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部．当（x，y）∈D时，x²+y²+2x的最大值为（ ）
A．24
B．25
C．4
D．7

8. 难度：中等

已知△ABC中，AB=AC=4，BC=，点P为BC边所在直线上的一个动点，则满足（ ）
A．最大值为16
B．最小值为4
C．为定值8
D．与P的位置有关

9. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x²+x+1＞0
B．函数f（x）=e^-x-e^x切线斜率的最大值是2
C．已知函数f（a）=sinxdx则f[f（）]=1+cos1
D．函数y=3•2^x+1的图象可以由函数y=2^x的图象仅通过平移变换得到

11. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，1+）
C．（1-，1）
D．（1-，1+）

12. 难度：中等

在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM．若侧棱，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是
（ ）
A．12π
B．32π
C．36π
D．48π

二、填空题

13. 难度：中等

复数在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a=    ．

14. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是    ．

15. 难度：中等

若tanα=，则cos（2）=    ．

16. 难度：中等

以抛物线y²=4x上的点（x，4）为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是    ．

17. 难度：中等

已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是    ，左视图的面积是    ．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（f（x））=   
下面三个命题中，所有真命题的序号是    ．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，试判断△ABC的形状．

20. 难度：中等

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

对于集合M，定义函数f_M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．
（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；
（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，且．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（3）若S_2n+1=a₁+a₂+…+a_2n+a_2n+1，求S_2n+1．