2012年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，A={x|2^x（x-2）＜1}，B={x|y=ln（1-x）}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x≥1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

若复数（i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．-1

3. 难度：中等

如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ）
A．3
B．6
C．12
D．24

4. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100
B．1000
C．90
D．900

5. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m²）．（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

m=-1是直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的（ ）
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示的流程图中，输出的结果是（ ）

A．5
B．20
C．60
D．120

9. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n）的公比q=2，若存在两项a_m，a_n使得的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

10. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

11. 难度：中等

函数在坐标原点附近的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设向量=（a₁，a₂），=（b₂，b₂），定义一种向量⊗=（a₁，a₂）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₂，a₂b₂）．已知，点，（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若，，且与垂直，则向量与的夹角大小为    ．

14. 难度：中等

已知sin，则sin2α的值为    ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知1的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ） a=1，B=45°，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

设数列{a_n}满足条件a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列．
（1）设c_n=a_n+1-a_n，求数列{c_n}的通项公式；
（2）若．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若，且当AC=BC=AA₁=3时，求二面角C-AB-C₁的大小．

20. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax_³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（1）当a=时，若不等式f'（x）＞-对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，讨论关于x的方程f（x）=k在[-1，+∞）上实数根的情况．

22. 难度：中等

已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（I）当直线Z酌斜率为1时，求线段AB的长；
（II）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．