2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²=1}，B={x|x（x-2）＜0}，那么A∩B=（ ）
A．∅
B．{-1}
C．{1}
D．{-1，1}

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₂=6，a₃=-18，则a₁+a₂+a₃+a₄=（ ）
A．26
B．40
C．54
D．80

3. 难度：中等

已知向量=（x+1，2），=（-1，x）．若与垂直，则||=（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

4. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）
A．3x+4y-15=0
B．3x-4y-15=0
C．4x-3y+20=0
D．4x-3y-20=0

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的k值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

若满足条件的整点（x，y）恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0

7. 难度：中等

已知函数f（x）=，若∃x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＞2
C．-2＜a＜2
D．a＞2或a＜-2

8. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（ ）

A．4
B．6
C．8
D．12

二、填空题

9. 难度：中等

复数在复平面内所对应的点的坐标为    ．

10. 难度：中等

若tanα=2，则sin2α=    ．

11. 难度：中等

以抛物线y²=4x上的点（x，4）为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是    ．

12. 难度：中等

已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是    ，左视图的面积是    ．

13. 难度：中等

设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，则f（f（x））=   
下面三个命题中，所有真命题的序号是    ．
①函数f（x）是偶函数；
②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
③存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，试判断△ABC的形状．

16. 难度：中等

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．

17. 难度：中等

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的右顶点A（2，0），离心率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求的取值范围．

20. 难度：中等

对于集合M，定义函数f_M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．
（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；
（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．