2012年广西玉林市陆川中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的值是（ ）
A．i-1
B．1-i
C．-1-i
D．-1

2. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足x•f′（x）≤-f（x），对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（a）＜bf（b）
B．af（a）≥bf（b）
C．af（b）＜bf（a）
D．af（b）≥bf（a）

3. 难度：中等

在的展开式中，x⁴的系数为（ ）
A．-120
B．120
C．-15
D．15

4. 难度：中等

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（ ）
A．240种
B．300种
C．360种
D．420种

5. 难度：中等

O为平面内的动点，A、B、C是平面内不共线的三点，满足+=λ≠，则点O轨迹必过△ABC的（ ）
A．垂心
B．外心
C．重心
D．内心

6. 难度：中等

若函数y=lg的定义域为M，函数y=lg[f（x）]的定义域为A，函数y=lg[g（x）]的定义域为B，则有（ ）
A．M=A∩B
B．M⊂A∪B
C．M⊃A∩B
D．M⊃A∪B

7. 难度：中等

球面上三点A、B、C，其中AB为球的直径，若∠ABC=30°，BC=2，则A、C两点的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设α、β、γ是三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ 
 ②m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③若α∥β，γ∥β，则α∥γ   
④若m，n在γ内的射影相互垂直，则m⊥n
其中错误的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

设f（x）=Asin（ωx+φ）（ω、A为正常数，x∈R），则f（0）=0是f（x）为奇函数的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

设偶函数f（x）=log_a|ax+b|在（0，+∞）上单调递增，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（ ）
A．f（b-2）=f（a+1）
B．f（b-2）＞f（a+1）
C．f（b-2）＜f（a+1）
D．不能确定

11. 难度：中等

设O是坐标原点，点M的坐标为（2，1）．若点N（x，y）满足不等式组，则使得取得最大值时点N个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

12. 难度：中等

已知P是椭圆+=1上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆半径为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

二、填空题

13. 难度：中等

将函数 的图象向右平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是    ．

14. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若点P为△BCD的重心，则D₁P与平面ADD₁A₁所成角的大小为    ．

15. 难度：中等

过点A（-1，0）作抛物线y²=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为B、C，且△ABC是正三角形，则抛物线方程为    ．

16. 难度：中等

（理）已知正数列{a_n}中，对任意的正整数n，都（n+1）a_n²-a_na_n+1²=na_n+1²成立，且a₁=2，则极限=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知a²-（b-c）²=bc．
（1）求角A；
（2）若BC=2，内角B等于x，周长为y，求y=f（x）的最大值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
（1）求异面直线PD一AE所成角的大小；
（2）求证：EF⊥平面PBC；
（3）求二面角F-PC-B的大小．

19. 难度：中等

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{b_n}满足，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{b_n}的通项公式以及前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．