2012年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={y∈R|y=3^x}，N={-1，0，1}，则下列结论正确的是（ ）
A．M∩N={0，1}
B．M∪N=（0，+∞）
C．（C_RM）∪N=（-∞，0）
D．（C_RM）∩N={-1，0}

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．-i

3. 难度：中等

如图是2012年某市元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）

A．84，0.4
B．84.8，0.64
C．85，3.2
D．85.8，4

4. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A．y=-lnx．
B．y=x²
C．y=2^-|x|
D．y=cosx．

5. 难度：中等

阅读右面的程序框图，若输入a=8，b=2，则输出的结果是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知函数，若不等式f（x）＜4的解集是空集，则（ ）
A．m≥4
B．m≥2
C．m≤4
D．m≤2

7. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若点P（cosθ，sinθ）在直线x+2y=0上，则cos2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设实数x，y满足x²+y²≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知平面向量，（≠，≠），满足||=3，且与-的夹角为30°，则||的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

命题“存在x∈R，使得|x-1|-|x+1|＞3”的否定是    ．

14. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是    cm²．

15. 难度：中等

经过点P（0，-1）作圆C：x²+y²-6x+7=0的切线，切点为A，则切线PA的长为    ．

16. 难度：中等

已知△ABC的∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，ab=4且的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足．
（I）设，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{c_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=．
（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAB的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求是否为定值？若是，求出此定值，若不是说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y=2x-1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）=λx²（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．若，分别求AB，OE的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为，曲线C₁，C₂相交于点M，N．
（1）将曲线C₁，C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段MN的长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．