2011-2012学年湖南省十二校高三（下）4月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，则复数等于（ ）
A．-1
B．-i
C．1
D．i

2. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃x∈R，x³＜0
B．“a＞0“是“|a|＞0”的充分不必要条件
C．∀x∈R，2^x＞0
D．““是“的夹角为锐角”的充要条件

3. 难度：中等

当x∈（0，）时，函数y=sinx+cosx的值域为（ ）
A．（1，）
B．（，2）
C．（0，1）
D．（1，2]

4. 难度：中等

右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），可知这个几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

由函数f（x）=e^x-e的图象，直线x=2及x轴所围成的图象面积等于（ ）
A．e²-2e-1
B．e²-2e
C．
D．e²-2e+1

6. 难度：中等

已知实数x∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若实数a，b，c使得函数f（x）=x³+ax²+bx+c的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率e₁，e₂，e₃，则a，b，c的一种可能取值依次为（ ）
A．-2，-1，2
B．2，0，-2
C．
D．

8. 难度：中等

记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M={}，将M中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若实数x，y满足，则s=x-y的最小值为    ．

10. 难度：中等

已知向量=（4，3），=（-2，1），如果向量+λ与垂直，则|2-λ|的值为    ．

11. 难度：中等

已知双曲线-=1（b＞0）的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为    ．

12. 难度：中等

设{lga_n}成等差数列，公差d=lg3，且{lga_n}的前三项和为6lg3，则{a_n}的通项为    ．

13. 难度：中等

已知（x²-）ⁿ的展开式中第二项与第四项的系数相等，则展开式的二项式系数之和为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x²+|x-a|-1
（1）若a=0，则方程f（x）=0的解为    ．
（2）若函数f（x）有两个零点，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，a _n+1=其中k为使a_n+1为奇数的正整数．
（1）当a₁=11 时，a₂₀₁₂=   
（2）若存在m∈N⁺，当n＞m且a_n为奇数时，a_n恒为常数p，则p的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
（1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
（2）已知曲线C的参数方程为（θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
（3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则+≥，当且仅当=时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=+（x∈0，）的最小值．

17. 难度：中等

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（即底面为正方形的直四棱柱）中，AA₁=2AB=4，点 E 在 CC₁ 上且 C₁E=3EC．
（1）证明：A₁C丄平面BED；
（2）求直线A₁C与平面A₁DE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N⁺，且1≤n≤98）的关系表如下：

n	1	2	3	4	…	98
p					…	1

又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a＞0）．
（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（≈1.73）．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）当a+b=1时，试用含a的表达式研究f（x）的单调区间；
（2）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

21. 难度：中等

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．