2012年安徽省芜湖市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（ ）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．1或-1或0

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²-2x+4≤0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x²-2x+4≥0
B．∀x∉R，x²-2x+4≤0
C．∃x∈R，x²-2x+4＞0
D．∃x∉R，x²-2x+4＞0

3. 难度：中等

“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₆-a₄=24，a₃a₅=64，则{a_n}前8项的和为（ ）
A．255或85
B．85
C．255或-85
D．255

5. 难度：中等

设实数x，y满足则的取值范围是（ ）
A．[，2]
B．[，]
C．[.2]
D．[，3]

6. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．a²+a²
B．
C．a²
D．πa²+a²

7. 难度：中等

从1到20这20个正整数中，任取两个不同的整数，其和大于20的取法种数有（ ）
A．110
B．100
C．55
D．45

8. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．+1
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则的值是（ ）

A．-
B．
C．8
D．与圆的半径有关

10. 难度：中等

设两个复数集N={z|z=2cosθ+i（λ+3sinθ），θ∈R}，M={z|z=t+i（4-t²），t∈R}的交集为非空集合，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[0，7]
B．[1，7]
C．[-，0]
D．[-，7]

二、填空题

11. 难度：中等

若方程e^2x+e^x-a=0有实数解，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为p=2cos（θ+），则圆心C到直线l的距离为    ．

13. 难度：中等

如图所示的程序框图输出的值是    ．

14. 难度：中等

如图，将边长为1，2，3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子的距离为1，若以此方式再放置边长为4，5，6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是    ．

15. 难度：中等

若存在区间M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x     ②f（x）=x³ ③f（x）=cos     ④f（x）=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有    （写出所有正确命题的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，向量=（sinA，cosA），=（，-1）且•=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，b+c=3，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某校考生参加2012年全国高校自主招生考试，假设每位考生只能申请A，B，C三所大学中的一所，且申请其中任意一所大学都是等可能的，现有4位考生申请参加自主招生考试．
（Ⅰ）求恰有2人申请A大学的概率；
（Ⅱ）求4人申请大学数量ξ的概率分布和数学期望．

18. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BEC₁；
（Ⅱ）若，AB=2，AA₁=，求点A到平面BEC₁的距离；
（Ⅲ）当为何值时，二面角E-BC₁-C的正弦值为？

19. 难度：中等

已知函数f（（x）=|lnx-|-1（a∈R）．
（Ⅰ）设g（x）=lnx-，若a=e，求函数g（x）的零点；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列满足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n和S_n；
（Ⅲ）求证．

21. 难度：中等

如图，A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设=λ₁，=λ₂．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ₁+λ₂的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ₁+λ₂否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．