2012年湖南省十二校高三4月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-1＜x＜2}，集合B={x|x≤0}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x＜0}
B．{x|-1＜x≤0}
C．{x|0＜x＜2}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

复数z=（a-2i）i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=-1”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．π

4. 难度：中等

执行程序框图，输出的结果是18，则①处应填入的条件是（ ）
A．K＞2
B．K＞3
C．K＞4
D．K＞5

5. 难度：中等

某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．5+2
B．6+2
C．7+2
D．8+2

6. 难度：中等

已知实数m，6，-9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y²=1的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（），=，则cos（x-）=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

8. 难度：中等

若函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数F（x）=f（x）-|log₄x|的零点个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³ax²+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），则的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（1，3）
C．[0，3]
D．[1，3]

二、填空题

10. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρsinθ+ρcosθ=6的距离的最小值是    ．

11. 难度：中等

（优选法与试验设计初步）在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手中只有阻值为0.5kΩ，1kΩ，1.3kΩ，2kΩ，3kΩ，5kΩ，5.5kΩ七种阻值不等的定值电阻，若用分数法进行4次优选试验，依次将电阻从小到大安排序号，则第三个试点的阻值可能是     kΩ．

12. 难度：中等

已知x、y的取值如表，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=bx+，则b=    ．

x	2	3	4
y	6	4	5

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥1的解集为    ．

14. 难度：中等

抛物线C的准线方程为x=-（p＞0），顶点在原点，抛物线C与直线l：y=x-1相交所得弦长为，则p的值为    ．

15. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•x₃•…•x₂₀₁₂的值为    ．

16. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，=2，=3（k≥1，k∈N），则
（1）a₃+a₄=    ；
（2）其前n项和S_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

18. 难度：中等

为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理得到的频率分布直方图．
（I）若图中第一组（成绩为[40，50））对应矩形高是第六组（成绩为[90，100））对应矩形高的一半，试求第一组、第六组分别有学生多少人？
（II）在（Ⅰ）的条件下，若从第一组中选出一名学生，从第六组中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求第一组中学生A₁和第六组中学生B₁同时被选中的概率？

19. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面ABC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）请分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（Ⅱ）若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

21. 难度：中等

已知中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆C，其长轴长等于4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点A（n，）（n∈N）总在直线y=x+上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=（n∈N），试问数列{b_n}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．