2012年东北四校高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合中含有的元素个数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

2. 难度：中等

已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．（1，+∞）
C．（1，2）
D．

3. 难度：中等

已知平面向量和，||=1，||=2，且与的夹角为120°，则|2+|等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．6

4. 难度：中等

某程序框图如图所示，则输出的结果是（ ）

A．46
B．45
C．44
D．43

5. 难度：中等

PM_2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据我市某日早7点至晚8点甲、乙两个PM_2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是（ ）

甲		乙
1	0.03	6
2	0.04	1 2 3 6
9 3	0.05	9
6 3 1	0.06	2 9
3 3 1	0.07	9
6 4	0.08	8 9
7	0.09	2 9

A．甲乙相等
B．甲
C．乙
D．无法确定

6. 难度：中等

下列有关命题的说法中，正确的是（ ）
A．命题“若x²＞1，则x＞1”的否命题为“若x²＞1，则x≤1”
B．“x＞1”是“x²+x-2＞0”的充分不必要条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x²+x+1＞0”
D．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题

7. 难度：中等

若曲线y=x²在点（a，a²）（a＞0）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于（ ）
A．2
B．4
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=-2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．12π
B．14π
C．16π
D．28π

10. 难度：中等

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．
B．
C．（2，+∞）
D．（1，2）

11. 难度：中等

已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为（ ）
A．
B．1-
C．
D．

12. 难度：中等

已知，且函数y=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[-4，0]
B．[-8，+∞）
C．[-4，+∞）
D．（0，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数的虚部是    ．

14. 难度：中等

已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为    ．

15. 难度：中等

给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=27．S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

18. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中点，MA₁⊥AC．
（1）求证：MA₁⊥平面ABC；
（2）求点M到平面AA₁C₁C的距离．

19. 难度：中等

哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干．根据以往对500名40岁以下（含40岁）人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40岁以下（含40岁）人员购买热饮等食品的有260人，不购买热饮食品的有240人；40岁以上人员购买热饮等食品的有220人，不购买热饮等食品的有280人，请根据以上数据作出2×2列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？
注：要求达到99.9%的把握才能认定为有关系．
附：

P（K^2≥k）	0.500	0.400	0.100	0.010	0.001
k	0.455	0.708	2.706	6.635	10.828

20. 难度：中等

已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y²=8x的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

设二次函数f（x）=mx²+nx，函数g（x）=ax³+bx-3（x＞0），且有f'（0）=0，f′（-1）=-2，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）是否存在实数k和p，使得f（x）≥kx+p和g（x）≤kx+p成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

选修41：几何证明选讲
如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AB是⊙O₂的直径，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与⊙O₁、⊙O₂交于C，D两点．
求证：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线L：ρsin²θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．
（I）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；
（II）求|BC|的长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．