2012年四川省自贡市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个

2. 难度：中等

设复数（1-i）¹⁰+（1+i）¹⁰=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位），则（ ）
A．a=0，b=0
B．a=0，b≠0
C．a≠0，b=0
D．a≠0，b≠0

3. 难度：中等

要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

4. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n其前n项和，且a₂=3a₄-6，则S₉等于（ ）
A．25
B．27
C．50
D．54

6. 难度：中等

α，β表示两个不同的平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知G是△ABC的重心，且，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosc=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设O为坐标原点，A（-1，1），平面区域M为，随机从区域M中抽取一整点P （横、纵坐标都是整数），则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

F₁ F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF₁F₂的内心，且=-λ，则λ=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

10. 难度：中等

已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（ ）条件
A．充要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要

11. 难度：中等

某两个三口之家，拟乘“富康”，“桑塔纳”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多．只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能单独坐一辆车，则不同的坐车方法种数为．（ ）
A．58
B．50
C．48
D．40、

12. 难度：中等

定义域在R上的函数f（x）满足：①f（x+2）是奇函数；②当x≥2时，f′（x）≥0．又＜x₁+x₂＜4，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒小于0
B．恒大于0
C．恒大于等于0
D．恒小于等于0

二、填空题

13. 难度：中等

若的展开式中的常数项为，则实数a    ．

14. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为时，则a=    ．

15. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为    ．

16. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-，f（-））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x，点（x，f（x））为麵y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=x³-x²-，则，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a-c），=（cosB，cosC），且∥
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	10	5

（I）从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率；
（II ）设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求抽到男教师个数的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，P点在A₁B₁上，且满足=λ（λ∈R）．
（I）证明：PN⊥AM；
（II）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求出该最大角的正切值；
（III）在（II）条件下求P到平而AMN的距离．

20. 难度：中等

己知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II） M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

21. 难度：中等

已知数列{a_n} 中a₁=2，点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，n∈N^*．数列 {b_n} 的前n项和为S_n，且满足b₁=1，当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-）
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求S_n；
（3）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=，求的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-x+）e^ax（a＞0）
（1）求曲线f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a∈（1，2），使f（x）＞当x∈（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．