2012年四川省自贡市高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x²-x-2＜0}，N={x|y=log₂（2x+1）}，则M∩N=（ ）
A．{x|-＜x＜1}
B．{x|-＜x＜2}
C．{x|x＞2}
D．{x|x＞}

2. 难度：中等

某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（ ）
A．30
B．40
C．50
D．60

3. 难度：中等

函数y=2^x-1（x＜0）的反函数是（ ）
A．y=1+log₂x（0＜x＜1）
B．y=log₂（x-1）（x＞1）
C．
D．y=log₂（x+1）（0＜x＜1）

4. 难度：中等

要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

5. 难度：中等

若向量满足且，则等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，S_n其前n项和，且a₂=3a₄-6，则S₉等于（ ）
A．25
B．27
C．50
D．54

7. 难度：中等

α，β表示两个不同的平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

己知x＞0，y＞0，x+3y=2，则的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．
D．2

9. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于（ ）
A．
B．2-
C．-1
D．+1

10. 难度：中等

设O为坐标原点，A（-1，1），平面区域M为，随机从区域M中抽取一整点P （横、纵坐标都是整数），则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（ ）条件
A．充要
B．充分不必要
C．必要不充分
D．既不充分也不必要

12. 难度：中等

某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ）
A．16
B．21
C．24
D．90

二、填空题

13. 难度：中等

的二项展开式中，x的系数与x⁹的系数之差为    ．

14. 难度：中等

双曲线-=1的渐近线方程为y=±2x，则n=    ．

15. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为    ．

16. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f′（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f′（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点（-，f（-））对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x，点（x，f（x））为麵y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=x³-x²-，则，g（）+g（）+g（）+…+g（）=-105.5．
其中正确命题的序号为    （把所有正确命题的序号都填上）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a-c），=（cosB，cosC），且∥
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-）+sinx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	10	5

（I）假设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求恰好是一男一女的概率P₁
（II）从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北师大版的概率P₂．

19. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．

20. 难度：中等

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（，1），求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…对每一个正整数n，点P_n在给定的函数，y=log₃（2x）的图象上，点P_n和点（（n-1，0）与点（n，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（I） 求点P_n的纵坐标b_n的表达式；
（II） 记c_n=，n∈N₊．
①证明；
②是否存在实数k，使得对一切n∈N₊均成立，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．