2012年福建省莆田市高中毕业班教学质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，则C_UA=（ ）
A．{1，3，5}
B．{2，4，6}
C．{1，2，3}
D．{4，5，6}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数=（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

已知p：x＞0，y＞0，q：xy＞0，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若四边形ABCD满足，则该四边形一定不是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形

5. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log₂x，则f（-2）的值等于（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

6. 难度：中等

函数所有零点的和等于（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

7. 难度：中等

某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如右表所示，

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么a的值等于（ ）
A．0.35
B．3.15
C．3.5
D．0.4

8. 难度：中等

如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若点（m，n）在直线4x+3y-10=0上，则m²+n²的最小值是（ ）
A．2
B．
C．4
D．

10. 难度：中等

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，若α∈（0，π），则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图是定义在[-4，6]上的函数f（x）的图象，若f（-2）=1，则不等式f（-x²+1）＜1的解集是（ ）

A．
B．
C．（-2，1）
D．（-1，1）

12. 难度：中等

如图，F是抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：
①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；
②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；
③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；
④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点A、B、C的横坐标亦成等差数列．
其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2sin²x，则f（x）的周期T=    ．

14. 难度：中等

已知双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为，则a=    ．

15. 难度：中等

某同学统计某道试题（满分4分）的得分情况并作成频率分布条形图，如图所示，请你根据图中的数据信息，估计该道试题的得分率（得分率=×100%）等于    ．

16. 难度：中等

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．现给出下列的四个无穷数列：（1）；（2）；（3）a_n=2n；（4），写出上述所有属于集合W的序号    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	______		______		______
ωx+φ			π		2π
Asin（ωx+φ）		2		-2

（1）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）当时，求函数f（x）的值域．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB=1．
（1）现给出三个条件：①；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC．试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥P-ABC的体积．

19. 难度：中等

如图，椭圆的上顶点B，M、N是椭圆C上异于点B的两个动点．
（1）若M为椭圆C的下顶点，N为椭圆C的右顶点，求△BMN外接圆的方程；
（2）若动点M、N关于原点中心对称，试求直线BM与BN的斜率之积．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和S_n，已知a₁=1，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*均成立．
（1）若a₄=10，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂=1+t，且存在m≥3（m∈N^*），使得a_m=S_m成立，求t的最小值．

21. 难度：中等

某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（1）求n的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x²-mx．
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函数f（x）的图象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边．求证：a²+c²＜b²．