2012年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合M={y∈R|y=3^x}，N={-1，0，1}，则下列结论正确的是（ ）
A．M∩N={0，1}
B．M∪N=（0，+∞）
C．（C_RM）∪N=（-∞，0）
D．（C_RM）∩N={-1，0}

2. 难度：中等

i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．-i

3. 难度：中等

的展开式中的常数项为m，则函数y=-x²与y=mx的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数，若不等式f（x）＜4的解集是空集，则（ ）
A．m≥4
B．m≥2
C．m≤4
D．m≤2

6. 难度：中等

设实数x，y满足x²+y²≤1，则点（x，y）不在区域内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若点P（cosθ，sinθ）在直线x+2y=0上，则cos2θ+sin2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=e^-x-ex²+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（ ）
A．x+y=0
B．ex-y+1-e=0
C．ex+y-1-e=0
D．x-y=0

9. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（1，-），=（cosB，sinB），且∥且bcosC+ccosB=2asinA，则∠C=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

10. 难度：中等

函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]上（ ）
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值M
D．可以取得最小值-M

11. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

12. 难度：中等

已知函数函数，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

命题“存在x∈R，使得|x-1|-|x+1|＞3”的否定是    ．

14. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是    cm²．

15. 难度：中等

经过点（0，-1）作圆C：x²+y²-6x+7=0的切线，切点分别为A和B，点Q是圆C上一点，则△ABQ面积的最大值为    ．

16. 难度：中等

“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的    倍．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，数列{a_n}的首项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2012的最小正整数n．

18. 难度：中等

甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（I）如图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0；如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和Eξ．

19. 难度：中等

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=2，点M是PB的中点，点N在BC边上移动．
（I）求证：当N是BC边的中点时，MN∥平面PAC；
（Ⅱ）证明，无论N点在BC边上何处，都有PN⊥AM；
（Ⅲ）当BN等于何值时，PA与平面PDN所成角的大小为45°．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点F的最近距离为2，若椭圆C与x轴交于A、B两点，M是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线MA交直线l：x=9于G点，直线MB交直线l于H点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探求以GH为直径的圆是否恒经过x轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=-1时，函数F（x）=f（x）-λx²有唯一零点，求正数λ的值．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE．若，分别求AB，OE的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为，曲线C₁，C₂相交于点M，N．
（1）将曲线C₁，C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求线段MN的长．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|3x-1|+ax+3．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．