2011-2012学年北京市海淀区高三（下）5月查漏补缺数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数y=的图象的对称轴是    ．

2. 难度：中等

设曲线的极坐标方程为sin2θ=1，则其直角坐标方程为    ．

3. 难度：中等

以原点为顶点，以x轴正半轴为始边的角a的终边与直线y=2x-1垂直，则cosa=    ．

4. 难度：中等

设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（-）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为    ，此时，φ=    ．

5. 难度：中等

在区间[-1，1]上随机的取两个数a，b，使得方程bx²+2ax+1=0有两个实根的概率为    ．

6. 难度：中等

从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为    ，抽到的扑克牌为K的条件下恰好是梅花的概率为    ．

7. 难度：中等

已知向量，满足：||=1，||=6，•（-）=2，则与的夹角为    ；|2-|=    ．

8. 难度：中等

某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1：5：3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为    人．

9. 难度：中等

将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是    cm³．

10. 难度：中等

一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P处观测到灯塔A，B在一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进600米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东15°方向．则两灯塔之间的距离是    米．

11. 难度：中等

已知点P为曲线y=x²与y=alnx（a≠0）的公共点，且两条曲线在点P处的切线重合，则a=    ．

12. 难度：中等

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0）（6，4），则f（f（0））=    ；函数f（x）在x=1处的导数 f^′（x）=    ；函数f（x）的极值点是    ；=    ．

13. 难度：中等

如图，是⊙O的一段劣弧，弦CD平分∠ACB交于点D，BC切于点C，延长弦AD交 BC于点B，
（1）若∠B=75°，则∠ADC=    ；
（2）若⊙O的半径长为，CD=3，则BD=    ．

二、解答题

14. 难度：中等

已知函数f（x）=e^-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值与最小值．

15. 难度：中等

某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关“年夜饭在哪吃”的调查，若年夜饭在家吃的称为“传统族”，否则称为“前卫族”，这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下：

A小区	传统族	前卫族
比例
B小区	传统族	前卫族
比例
C小区	传统族	前卫族
比例

（Ⅰ）从A，B，C三个小区中各选一个家庭，求恰好有2个家庭是“传统族”的概率（用比例作为相应的概率）；
（Ⅱ）在C小区按上述比例选出的20户家庭中，任意抽取3户家庭，其中“前卫族”家庭的数量记为X，求X的分布列和期望EX．

16. 难度：中等

申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次．设X表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知X的概率分布如下：

X	1	2	3	4
P	0.1	x	0.3	0.1

（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；
（Ⅱ）已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用Y=100X+30（单位：元），求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．满足2acosC+ccosA=b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB+sinB的最大值．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前N项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

19. 难度：中等

已知抛物线x²=y，O为坐标原点．
（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标为m，用n表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值；
（Ⅱ）过抛物线上一点A（3，9）引圆x²+（y-2）²=1的两条切线AB，AC，分别交抛物线于点B，C，连接BC，求直线BC的斜率．

20. 难度：中等

若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；
（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与均为定值．

三、选择题

21. 难度：中等

设原命题：若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题

22. 难度：中等

在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y=x，y=，y=x²，y=x³，y=x^-1的部分图象，则函数y=的图象通过的阴影区域是（ ）
A．
B．
C．
D．

23. 难度：中等

若直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）相切，则b=（ ）
A．-4或6
B．-6或4
C．-1或9
D．-9或1

24. 难度：中等

已知，则sin2x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

25. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1]时，f（x）=cosx，设a=f（0.5），b=f（），c=f（），则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

26. 难度：中等

设集合A={（x，y）|y=a^x}，B={（x，y）|y≥x+1或y≥-x+1}．若A⊆B，则正实数a的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[，e]
C．（1，e²]
D．[e，+∞）

27. 难度：中等

函数f（x）=e^|x|-x²的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

28. 难度：中等

若的展开式中不含x^a（a∈R）的项，则a的值可能为（ ）
A．-5
B．1
C．7
D．2