2012年福建省泉州市高三3月质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（1+i）i=（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-1-i
D．1-i

2. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，B={x|x²-x-2=0，x∈R}，则A∩B为（ ）
A．∅
B．{1}
C．{2}
D．{1，2}

3. 难度：中等

函数f（x）=log₂x+x-4的零点所在的区间是（ ）
A．
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

4. 难度：中等

下列双曲线中与椭圆有相同焦点的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，且在区间（0，+∞）内是单调递增的函数是（ ）
A．
B．y=cos
C．y=|lnx|
D．y=2^|x|

6. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入的x值为2，那么输出的结果是（ ）

A．lg2
B．1
C．3
D．5

7. 难度：中等

条件P：“x＜1”，条件q：“（x+2）（x-1）＜0”，则P是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如图所示的是函数y=Asin（ωx+φ）图象的一部分，则其函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示．

甲				乙
	9	8	8	3	3	7
2	1		9	●	9

老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0，1，2，…，9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知正六边形ABCDEF的边长为1，则的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C₁、C₂、C₃的离心率分别为e₁、e₂、e₃，则（ ）

A．e₁=e₂＜e₃
B．e₂=e₃＜e₁
C．e₁=e₂＞e₃
D．e₂=e₃＞e₁

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）在区间[a，b]上均有意义，且A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点．对应于区间[0，1]内的实数λ，取函数y=f（x）的图象上横坐标为x=λa+（1-λ）b的点M，和坐标平面上满足的点N，得．对于实数k，如果不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，那么就称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x²+x在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
A．
B．[0，+∞）
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（2，1），若∥，则x的值为    ．

14. 难度：中等

若角α的终边经过点P（1，2），则sin2α的值是    ．

15. 难度：中等

一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为    ．

16. 难度：中等

设圆O₁：（x+t）²+（y-2）²=4（t∈R），记N（t）为圆O₁内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的所有可能值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体．
（I）求证：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F在什么位置时，能使折起后的几何体中EF∥平面AMN，并给出证明．

19. 难度：中等

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．

20. 难度：中等

某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人．
（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？

	≥170cm	＜170cm	总计
男生身高
女生身高
总计

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170～175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率．

21. 难度：中等

如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F．
（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

22. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函数y=f（x）的图象总在直线的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f'（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？请证明你的结论．