2011-2012学年江苏省泰州市姜堰市蒋垛中学高三（下）3月综合测试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={1，2，3，4}，B={x∈N||x|≤2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

若复数（i为虚数单位）为实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

“a≥0”是“∃x∈R，ax²+x+1≥0为真命题”的    条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“不充分不必要”）

4. 难度：中等

某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的标准差为    ．

5. 难度：中等

已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为    ．

6. 难度：中等

设D，P为△ABC内的两点，且满足，，则=    ．

7. 难度：中等

如果执行如图所示的程序框图，那么输出的结果是    ．

8. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题：
①若m∥β，m∥α，α∩β=n，则m∥n；
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若α⊥β，m⊥β，则m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．真命题的有    ．（填序号）

9. 难度：中等

若α，β∈（0，π），cosα=-，tan，则α+2β=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知点B是椭圆C：的短轴的一个端点，C的右准线与x轴交于点H，直线BH交C于点M，且，则椭圆C的离心率为    ．

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的有    ．（填序号）
①x₁²+x₂²+x₃²=14；    ②a+b=2；   ③x₁+x₃＞2x₂；    ④x₁+x₃=4．

13. 难度：中等

各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有    项．

14. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在矩形ABCD中，已知AD=2AB=2，点E是AD得中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）证明：BE⊥CD′；
（2）求点E到平面D′EC的距离．

16. 难度：中等

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC=
（I ）求角C大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

17. 难度：中等

某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知）．

18. 难度：中等

已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．
（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；
（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；
（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

20. 难度：中等

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差数列．
（Ⅰ）证明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多项式），并求p₁+p₂的值；
（Ⅱ）当d₁=1，d₂=3时，将数列d_m分组如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（c_m）⁴（c_m＞0），求数列的前n项和S_n．
（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的S_n，求使得不等式成立的所有N的值．