2012年吉林省长春市高三第四次调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算等于（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

集合A={0，，-3，1，2}，集合B={y∈R|y=2^x，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{-3，1，2}
D．{-3，0，1}

3. 难度：中等

下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．y=log₂
B．y=x³+
C．y=3^x
D．y=x^-1

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为3，若a₂，a₄，a₈成等比数列，则a₄等于（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

已知锐角α的终边上一点P（1+sin50°，cos50°），则锐角α=（ ）
A．80°
B．70°
C．20°
D．10°

7. 难度：中等

函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若椭圆与直线x+2y-2=0有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．（，3）
B．（3，+∞）
C．（，3）
D．（，3）∪（3，+∞）

10. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当x∈（-，0），f（x）=log₂（1-x），则f（2011）+f（2012）+f（2013）+f（2014）=（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

11. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=120°，||=2，||=1，点P满足=λ（0≤λ≤1），则的取值范围是（ ）
A．[，3]
B．[，5]
C．[-2，]
D．[，5]

12. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（ ）

A．
B．4（2-）π
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为    ．

14. 难度：中等

为检查国家全民健身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机抽取200名，统计其平均每天参加体育活动时间（h），画出如图频率分布直方图，已知该社区共有成年居民1500人，根据上述信息估计平均每天参加体育活动时间在[0.5，1.5]内的人数约为    ．

15. 难度：中等

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=    米．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=lgx和g（x）=10^x的图象与圆x²+y²=20在第一象限内的部分相交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两个点，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，满足2S₂=a₂（a₂+1），且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的最小值项．

18. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥CB，D为AB中点，A₁A=AC=，CB=1．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求三棱锥C₁-A₁DC的体积．

19. 难度：中等

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对此班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅还喜欢打羽毛球，B₁，B₂，B₃还喜欢打乒乓球，C₁，C₂还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：

p（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中n=a+b+c+d）

20. 难度：中等

如图，椭圆经过点（0，1），离心率．
（l）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知f（x）=2lnx+．
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若x≥1时，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边
AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM．
（Ⅰ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长．

23. 难度：中等

（选做题）已知曲线C的极坐标方程为，直线l参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．
（1）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；
（2）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．