2011-2012学年福建省泉州市高三（下）第二次质量检测数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|-1＜x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|x＜-1}
B．{x|x＜1}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜0}

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数的实部等于（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

命题“∀x＞0，都有x²-x≤0”的否定是（ ）
A．∃x＞0，使得x²-x≤0
B．∃x＞0，使得x²-x＞0
C．∀x＞0，都有x²-x＞0
D．∀x≤0，都有x²-x＞0

4. 难度：中等

已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则∠A等于（ ）
A．30°
B．30°或150°
C．60°
D．60°或120°

5. 难度：中等

已知函数f（x）的图象是连续不断的，x，f（x）的对应值如下表：

x	-2	-1	1	2	3
f（x）	-3	-2	-1	1	2

在下列区间内，函数f（x）一定有零点的是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

6. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线x²-y²=1的渐近线的距离为，则p的值为（ ）
A．
B．6
C．
D．3

7. 难度：中等

设向量=（1，1），k∈R，下列向量与不可能垂直的是（ ）
A．=（k，k+1）
B．=（k²，1）
C．=（k，k-1）
D．=（k²，-1）

8. 难度：中等

圆x²+y²+ax+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为（ ）
A．x+y-4=0
B．x-2y-1=0
C．x-y-2=0
D．2x-y-5=0

9. 难度：中等

某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设实数x、y满足约束条件，则z=x+y的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

11. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f（3）＞1，f（7）=a²-a-1，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，1）
B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C．（-1，2）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

12. 难度：中等

计算机内部都以二进制字符表示信息．若u=（a₁，a₂，…，a_n），其中a_i=0或1（i=1，2，…，n），则称u是长度为n的字节；设u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），用d（u，v）表示满足a_i≠b_i（i=1，2，…，n）的i的个数．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），则d（u，v）=1．现给出以下三个命题：
①若u=（a₁，a₂，…，a_n），v=（b₁，b₂，…，b_n），则0≤d（u，v）≤n；
②对于给定的长度为n的字节u，满足d（u，v）=n-1的长度为n的字节v共有n-1个；
③对于任意的长度都为n的字节u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．
则其中真命题的序号是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．②③

二、填空题

13. 难度：中等

某厂为了检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品，逐一称出它们的重量（单位：克），经数据处理后作出了如图所示的样本频率分布直方图．那么，根据频率分布直方图，样本中重量超过505克的产品数量应为    件．

14. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内等可能地任取一点，则该点到顶点A的距离小于1的概率是    ．

15. 难度：中等

定义一种运算S=a⊗b，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义．那么，按照运算“⊗”的含义，计算tan15°⊗tan30°+tan30°⊗tan15°=    ．

16. 难度：中等

定义域为D的函数y=f（x），若存在常数a，b，使得对于任意x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，总有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．已知函数f（x）=x³-3x²图象的对称中心的横坐标为1，则可求得：=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知A、B两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球．
（Ⅰ）用有序数对（i，j）表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；
（Ⅱ）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此规则是否公平？请说明理由．

18. 难度：中等

已知向量=（sin2x，cos2x），向量=，f（x）=•，．
（Ⅰ）试用“五点作图法”作出函数y=f（x）的图象；
（Ⅱ）（ⅰ） 若-1＜f（x）＜0，求x的取值范围；
（ⅱ）若方程f（x）=a（-1＜a＜0）的两根分别为x₁，x₂，试求sin（x₁+x₂）的值．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）若F为线段AC的中点，求三棱锥A-C₁EF的体积；
（Ⅲ）试探究满足EF∥平面A₁ABB₁的点F的位置，并给出证明．

20. 难度：中等

如图，设AB、A′B′分别是圆O：x²+y²=a²和椭圆的弦，端点A与A′、B与B′的横坐标分别相等，纵坐标分别同号．
（Ⅰ）若椭圆C的短轴长为2，离心率为，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若弦AB过定点，试探究弦A′B′是否也必过某个定点．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_m，S_n，S_k，使得S_m，S_n，S_k为等差数列？若存在，请求出满足条件的一组m，n，k的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记直线ST的倾斜角为α，试证明：．