2011-2012学年湖北省孝感市高三第二次统考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i（-1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若集合A={y|y=，-1≤x≤1}，B={y|y=，x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（-∞，-1）
B．[-1，1]
C．∅
D．{1}

3. 难度：中等

（x-）⁹的展开式的第3项是（ ）
A．-84x³
B．84x³
C．-36x⁵
D．36x⁵

4. 难度：中等

已知三棱锥的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）=x²，，f（x）=e^x，f（x）=sinx，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=e^x
D．f（x）=sin

6. 难度：中等

下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈[0，1]，e^x≥1，命题q：∃x∈R，x²+x+1＜0，则p∨q为真
C．“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题
D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题

7. 难度：中等

已知平面区域D：，∀（a，b）∈D，a-2b≥0的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设F₁、F₂是离心率为的双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF₁|=λ|PF₂|则λ的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且（γ∈R），则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6 个
B．10 个
C．12 个
D．16 个

二、填空题

11. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点，且被圆x²+y²-4x+2y=0截得弦最长的直线的方程是    ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，首项，a₄=∫₁⁴（1+2x）dx，则公比为    ．

13. 难度：中等

某地最近几年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	255	264	276	285

粮食需求量与年份相关，请预测该地2012年的粮食需求量为     （万吨）．

14. 难度：中等

在两道题中选择其中一道题作答，若两道都选，按前一道作答结果计分．
（1）（几何证明选讲题）如右图所示AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是   
（2）（坐标系与参数方程题）已知圆的极坐标方程为ρ=2COSθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是    ．

15. 难度：中等

孝感雕花剪纸有着悠久的历史，既有北方粗犷苍劲的风格，又有南方玲珑细腻的特点．下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们剪纸的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多剪纸越漂亮．现按同样的规律剪纸（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．

17. 难度：中等

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：
（I ）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
（II）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求二面角D-BC-E的平面角的正切值．

19. 难度：中等

已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（I）求P的值；
（II）作函数f（x）=a₂x²+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：，f（）＜．

21. 难度：中等

已知函数 ，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x） 的最小值；
（Ⅱ）当 a≤0 时，讨论函数 f（x） 的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．