2012年陕西省西安市八校高三5月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复（m²+i）（1-mi）是实数，则实数m=（ ）
A．-
B．
C．-1
D．l

2. 难度：中等

已知直角△ABC中，A是直角，=（1，1），=（2，k）则实数k的值为（ ）
A．0
B．-2或0
C．-2
D．2

3. 难度：中等

已知条件p：不等式x²+mx+1＞0的解集为R；条件q：指数函数f（x）=（m+3）^x为增函数．则p是q的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．2
D．1

5. 难度：中等

某学生忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为（ ）
A．18
B．24
C．6
D．12

6. 难度：中等

若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．[，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，）

7. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=5，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），则a₂₀₀₇=（ ）
A．4
B．-1
C．1
D．5

8. 难度：中等

如图，已知椭圆及两条直线，其中，且l₁，l₂分别交x轴于C、D两点．从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被石轴反射后与l₂交于点B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于（ ）

A．A
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，圆O：x²+y²=内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，则点P落在区域M内的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，0为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP=MC，则点M的轨迹为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是    ．

12. 难度：中等

计算某项税率，需用公式y=（1-5x）ⁿ（n∈N*）．现已知y的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当x=时y的值，若精确到0.001，其千分位上的数字应是     ．

13. 难度：中等

设x，y为任意实数，不等式组表示区域D，若指数函数y=a^x的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知球O是棱长为12的正四面体S-ABC的外接球，D，E，F分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面DEF截球O所得截面的面积是    ．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（几何证明选做题）
如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD•DC=    ．
（B）（极坐标系与参数方程选做题）
若直线与曲线为参数，a＞0）有两个公共点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为    ．
（C）（不等式选做题）
不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列；
（Ⅰ）若sin²B=sinAsinc，试判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求代数式sin²的取值范围．

17. 难度：中等

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

（文）甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格，因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75．
（1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率；
（2）求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．

19. 难度：中等

将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

20. 难度：中等

如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．