2012年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=2-i，则=（ ）
A．2i
B．-2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为（ ）
A．48
B．36
C．24
D．12

3. 难度：中等

由曲线y=x²-2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数y=cos（2x-），在区间[-，π]上的简图是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

7. 难度：中等

在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[0，2]
C．（0，2]
D．（，）

8. 难度：中等

若向量，，是单位向量，＜，＞=60°，则（-）•（+）的取值范围是（ ）
A．[-，]
B．[-1，1]
C．[-，]
D．[--，-]

9. 难度：中等

=（ ）
A．
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0），（c＞0），作圆：x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图是用二分法求方程lg x=3-x的近似解（精确度为0.1）的程序框图，则阅读程序框图并根据下表信息求出第一次满足条件的近似解为

根所在区间	区间端点函数值符号	中点值	中点函数值符号
（2，3）	f（2）＜0，f（3）＞0	2.5	f（2.5）＜0
（2.5，3）	f（2.5）＜0，f（3）＞0	2.75	f（2.75）＞0
（2.5，2.75）	f（2.5）＜0，f（2.75）＞0	2.625	f（2.625）＞0
（2.5，2.625）	f（2.5）＜0，f（2.625）＞0	2.5625	f（2.5625）＜0
（2.5625，2.625）	f（2.5625）＜0，f（2.625）＞0	2.59375	f（2.59375）＞0
（2.5625，2.59375）	f（2.5625）＜0，f（2.59375）＞0	2.578125	f（2.578125）＜0
（2.578125，2.59375）	f（2.578125）＜0，f（2.59375）＞0

（ ）

A．2.5
B．2.5625
C．2.578125
D．2.625

12. 难度：中等

在一个正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方形A₁B₁C₁D₁四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D₁Q与OP互相平分，则满足的实数λ的值有（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

13. 难度：中等

的展开式中常数项为     ．（用数字作答）

14. 难度：中等

x∈（0，2），则y=+的最小值是    ．

15. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF₁|的最大值为    ．

16. 难度：中等

如图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，则点H（4，2，1）到平面ABC的距离是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设，求T_n．

18. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得=λ，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

19. 难度：中等

改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2010年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2010年编号为10．数据如下：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人数y	3	5	8	11	13	14	17	22	30	31

（1）从这10年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有1年多于15人的概率；
（2）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

20. 难度：中等

已知过点A（-4，0）的动直线l与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx．
（1）求g（x）=（k∈R）的单调区间；
（2）证明：当x≥1时，2x-e≤f（x）≤恒成立；
（3）任取两个不相等的正数x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存x＞0使f′（x）=成立，证明：x＞x₁．

22. 难度：中等

如图，已知点A（，0），B（0，1），圆C是以AB为直径的圆，直线l：，（t为参数）．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）过原点O作直线l的垂线，垂足为H，若动点M0满足2=3，当φ变化时，求点M轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

23. 难度：中等

（1）解关于x的不等式x+|x-1|≤3；
（2）若关于x的不等式x+|x-1|≤a有解，求实数a的取值范围．