2011-2012学年浙江省杭州十四中高三（下）2月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

设复数（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知a，b都是实数，则“a+b≥4”是“a²+b²≥4”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设（其中x∈（0，π）），则cos2x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

6. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．36+128π
B．128π
C．36
D．36+64π

7. 难度：中等

阅读右边的程序框图，若输入的N=100，则输出的结果为（ ）
A．50
B．
C．51
D．

8. 难度：中等

某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ）
A．8
B．16
C．24
D．60

9. 难度：中等

设点P是椭圆上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）
A．{-1}
B．{0}
C．
D．{-1，0}

二、填空题

11. 难度：中等

设（1-x）⁴的展开式中x²的系数为A，则A=    ．

12. 难度：中等

（理）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差，则x-y=    ．

ξ	1	2	3
P	x	y	x

13. 难度：中等

设、为两非零向量，且满足||+||=2，2•=²•²，则两向量、的夹角的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知正数x，y满足 ，则x+y的最大值为    ．

15. 难度：中等

设点M（x，y） 的坐标满足不等式组 ，点（m，n） 在点M（x，y）所在的平面区域内，若点N（m+n，m-n）所在的平面区域的面积为S，则S的值为    ．

16. 难度：中等

等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是    ．

17. 难度：中等

已知a，b，c均为正实数，记，则M的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的所对边的长分别为a、b、c，且a=，b=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求 的值．

19. 难度：中等

如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120°，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））
（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在线段BC是否存在一点P，但AP⊥DE？证明你的结论．

20. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，a₁≠a₂，且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（k为非零常数，n∈N^*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，，数列{b_n}的前n项和为S_n，对于给定的正整数m，如果的值与n无关，求k的值．

21. 难度：中等

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为，Q为椭圆C的左顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函数φ（x）=f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x，f （x））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x，使得直线l与曲线y=g（x）相切．