2012年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设z₁=1+i，z₂=1-i（i是虚数单位），则=（ ）
A．-i
B．i
C．0
D．1

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=4，a₆=12，则数列{a_n}的前10项的和为（ ）
A．100
B．110
C．120
D．130

3. 难度：中等

1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有（ ）
A．450
B．460
C．480
D．500

4. 难度：中等

在等比数列a_n中，若a₁，a₁₁是方程x²-4x+3=0的两根，则a₆的值是（ ）
A．
B．-
C．
D．±3

5. 难度：中等

某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数，若x是函数y=f（x）的零点，且0＜x₁＜x，则f（x₁）（ ）
A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0

7. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左＞视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（单位cm³）（ ）

A．
B．
C．
D．π

8. 难度：中等

若向量=（x-1，2），=（4，y）相互垂直，则9^x+3^y的最小值为（ ）
A．12
B．
C．
D．6

9. 难度：中等

设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的（ ）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β
C．若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

10. 难度：中等

若双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成7：3的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图曲线y=x²和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且（γ∈R），则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6 个
B．10 个
C．12 个
D．16 个

二、填空题

13. 难度：中等

已知a∈（-，0），sina=-，则tan（π-a）=    ．

14. 难度：中等

二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr²，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）V=πr³，观察发现V′=S．则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr³，猜想其四维测度W=    ．

15. 难度：中等

设斜率为2的直线l过抛物线y²=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为    ．

16. 难度：中等

下列说法：
①“∃x∈R，使2^x＞3”的否定是“∀x∈R，使2^x≤3”；
②函数y=sin（2x+）sin（-2x）的最小正周期是π，
③命题“函数f（x）在x=x处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2^x，则x＜0时的解析式为f（x）=-2^-x
其中正确的说法是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=7米，BC=5 米，AC=8 米，∠C=∠D．
（I）求AB的长度；
（II）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？
（）

18. 难度：中等

为加强中学生实践、创新能力和同队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组		频数	频率
一	60.5～70.5	A	0.26
二	70.5～80.5	15	C
三	80.5～90.5	18	0.36
四	90.5～100.5	B	D
合计		50	E

（I ）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；
（II）求出a，b，c，d，e的值（直接写出结果），并作出频率分布直方图；
（III）若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，BC=AB，B₁C₁，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（I）求证：A₁B₁⊥平面AA₁C； 
（II）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（II）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆（a＞b＞0）的其中一个公共点为A（3，l），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（I）求圆C的标准方程；
（II）若点P的坐标为（4，4），试探究直线PF₁与圆C能否相切？若能，设直线PF₁与椭圆E相交于A，B两点，求△ABF₂的面积；若不能，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（，f（））处的切线斜率为自然对数的底数．
（I）求实数a的值；
（II）设g（x）=，求g（x）的单调区间；
（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：．

22. 难度：中等

选修4-1：平面几何
如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
（I）求证：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．

23. 难度：中等

已知曲线C：’直线l：p（cosθ-sinθ）=12．
（I）将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程都化为直角坐标方程；
（II）设点P在曲线c上，求p点到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-a|+5x，其中a＞0．
（I）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；
（II）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．