2011-2012学年湖北省黄冈市团风中学高三（下）高考交流数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={1，3，x}，B={1，x²}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx在x=处有极值，则ab的值为（ ）
A．3
B．-3
C．0
D．1

3. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=2ax²-x-1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x^2-a在（0，+∞）上是减函数．若p且¬q为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a≤2
C．1＜a≤2
D．a≤1或a＞2

4. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

5. 难度：中等

已知△ABC的三顶点坐标为A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（2，0），向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的各项均不相等，且2a_n=a_n-1+a_n+1（n∈N*，n≥2），则下列各不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且，则α的正切值是（ ）
A．
B．-1
C．
D．2

8. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），，且，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．3

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．
下列选项正确的是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．②③

二、填空题

11. 难度：中等

已知数组（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x₁₀，y₁₀）满足线性回归方程，则“（x，y）满足线性回归方程”是“，”的    ．条件．（填充分不必要、必要不充分、充要）

12. 难度：中等

已知实数x，y满足且z=ax+y仅在点（3，2）处取得最大值，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知a为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含x²项的系数是    ．

14. 难度：中等

某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为    ．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）

15. 难度：中等

（请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
（1）（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ=4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为    ．
（2）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3，则AC的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P的坐标为（-3，4），β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为．
（1）求tan（2α-β）的值；
（2）若，，求α+β．

17. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

19. 难度：中等

在△ABC中，已知A（0，1），B（0，-1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且=4．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若，
①试确定点F的坐标；
②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 ，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

21. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A是曲线y=f（x）上除原点O外的任意一点，过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线于点B，试问：是否存在这样的点A，使得曲线在点B处的切线与OA平行？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意x₁∈R的，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．