2011-2012学年安徽省皖北协作区高三（下）3月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数为虚数单位，则x+y等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知，是两夹角为120°的单位向量，=3+2，则||等于（ ）
A．4
B．
C．3
D．

3. 难度：中等

给出的程序框图如图，那么输出的数是（ ）

A．2450
B．2550
C．5050
D．4900

4. 难度：中等

双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，一个顶点是抛物线的y²=4x的焦点，则双曲线的离心率e等于（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（ ）

A．32
B．48
C．56
D．64

6. 难度：中等

直线（t为参数）交极坐标方程为ρ=4cosθ的曲线于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

7. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，5）
B．
C．（-1，2）
D．

8. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

9. 难度：中等

某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A．96种
B．192种
C．216种
D．312种

10. 难度：中等

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“对任意x∈（1，+∞），|x-3|+|x+4|＞2”的否定为    ．

12. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₁，a₃，a₄成等比数列，S_n为{a_n}的前n项和，则的值为    ．

13. 难度：中等

垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x³+3x²-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是    ．

14. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，AM=，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A₁D₁的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是    ．

15. 难度：中等

给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={-4，-2，0，2，4}为闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；
④若集合A₁，A₂为闭集合，则A₁∪A₂为闭集合；
⑤若集合A₁，A₂为闭集合，且A₁⊆R，A₂⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A₁∪A₂）．
其中正确的结论的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边长，S表示该三角形的面积，且2cos²B=cos2B+2cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若，求b的值．

17. 难度：中等

如图，已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．
（1）求证：PQ∥平面SCD；
（2）求二面角B-PC-Q的余弦值．

18. 难度：中等

为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．
（1）请估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中共随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个学生的成绩，记为m，n，若m，n都在区间[13，14]上，则得4分，若m，n都在区间[17，18]上，则得2分，否则得0分，用X表示得分，求X的分布列并计算期望．

19. 难度：中等

已知函数．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

20. 难度：中等

在数列{a_n}，{b_n}，a₁=2，a_n+1-a_n=6n+2，若在y=x²+mx的图象上，{b_n}的最小值为b₂．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求m的取值范围．

21. 难度：中等

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．