2012年四川省成都37中高三4月数学综合练习（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=Z，A={-1，0，1，2}，B={x|x²=x}，则A∩∁_UB为（ ）
A．{1，2}
B．{-1，2}
C．{-1，0}
D．{-1，0，2}

2. 难度：中等

设{a_n}是首项大于零的等比数列，则“a₁＜a₂”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知两个正数a，b（a＞b）的等差中项为5，等比中项为4，则椭圆的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知向量=（3，-1），=（2，1），且•=7，那么•等于（ ）
A．2或-2
B．2
C．-2
D．0

5. 难度：中等

若x是方程式lgx+x=2的解，则x属于区间（ ）
A．（0，1）
B．（1，1.25）
C．（1.25，1.75）
D．（1.75，2）

6. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若，S₄=20，则S₆=（ ）
A．16
B．24
C．36
D．48

7. 难度：中等

P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PB=2，PC=，PD=，则四棱锥P-ABCD的体积等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．12

8. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lgx，则满足f（x）＞0的x取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

9. 难度：中等

已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．5

10. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（ ）
A．100
B．1000
C．90
D．900

11. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40

12. 难度：中等

给出若干数字按如图所示排成三角形，其中最后一行各数依次是1，2，3，…，n，从倒数第二行起直到第一行，每个数分别等于下一行左、右两数之和，第一行只有一个数M，这个数M叫n阶“金字数”，当n=2013时，“金字数”M为（ ）

A．2011×2²⁰¹¹
B．2012×2²⁰¹⁰
C．2013×2²⁰¹¹
D．2014×2²⁰¹¹

二、填空题

13. 难度：中等

已知，且≤θ≤，则cos2θ的值是     ．

14. 难度：中等

若执行如图所示的程序框图，则输出的S=    ．

15. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于    ．

16. 难度：中等

下列命题正确的有    （填上序号）
（1）过两圆C₁：x²+y²-4=0，C₂：x²+y²-4x+4y-12=0的交点的直线方程是x-y+2=0．
（2）已知实系数方程f（x）=x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则（a-1）²+（b-2）²的取值范围是（8，17）．
（3）在等比数列{a_n}中，0＜a₁＜a₄=1，若集合A={n|a₁+a₂+…+a_n---…-≤0，n∈N^*}，则集合A中有4个元素．
（4）已知△ABC的周长为6，三边a，b，c成等比数列，则△ABC的面积的最大值是．

三、解答题

17. 难度：中等

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量	70	110	140	160	200	220
频率

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x-1
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且c=，f（c）=0，sinB=3sinA，求△ABC的面积；
（3）若＜α＜，f（α）=-，求sin2α的值．

19. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大小．

20. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}中，a₁=a，（n∈N^*），令b_n=a_n•log₂a_n．
（1）若a=2，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）若b_n+1＞b_n，n∈N^*，求a的取值范围．

21. 难度：中等

（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．

22. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且
（I）求椭圆C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．