2012年福建省福州市高三3月质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线方程为（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．y=-1
D．y=1

2. 难度：中等

命题“x∈R，e^x＞0”的否定是（ ）
A．x∈R，e^x≤0
B．x∈R，e^x≤0
C．x∈R，e^x＞0
D．x∈R，e^x＜0

3. 难度：中等

如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：
①z=i；           
②z=-+i；
③z=+i；      
④z=-i．
那么输出的复数是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

4. 难度：中等

用m、n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊥α，则m∥α
B．若m∥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5. 难度：中等

设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ ²），则函数f（x）=x²+2x+ξ不存在零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若=x+（1-x） ，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-1，0）
D．（0，1）

7. 难度：中等

如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（ ）

A	B
C	D

A．192种
B．128种
C．96种
D．12种

8. 难度：中等

函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）

A．x=
B．x=
C．x=4
D．x=2

9. 难度：中等

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0
B．2x±y=0
C．4x±y=0
D．x±2y=0

10. 难度：中等

若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割（M，N），下列选项中，不可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素

二、填空题

11. 难度：中等

sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax（x∈R）在x=l处有极值，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程是    ．

13. 难度：中等

在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）= （x∈Z）．给出以下三个判断：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1．
其中正确判断的序号是    （填写所有正确判断的序号）．

15. 难度：中等

一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图是“优美图”，则点A、B与边a所对应的三个数分别为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n，求数列的前n项和T_n．

17. 难度：中等

假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．

18. 难度：中等

如图，椭圆+=1 （a＞b＞0）的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=-1上，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

19. 难度：中等

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
（i）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ii）若点Q满足=λ （λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．

20. 难度：中等

如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km
（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．
（Ⅱ）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE=θ （0≤θ≤），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．

21. 难度：中等

本题有（1）、（2）、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
利用矩阵解二元一次方程组．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1．圆的参数方程为（θ为参数，r＞0），若直线l与圆C相切，求r的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a²+b²+c²=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．