2012年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（-∞，-1]
B．（-∞，-1）
C．[-1，+∞）
D．（-1，+∞）

2. 难度：中等

已知复数a+bi=i（1-i）（其中a，b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．2

3. 难度：中等

如果函数（ω＞0）的最小正周期为，则ω的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

4. 难度：中等

在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）

A．
B．
C．8
D．12

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数t的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为（ ）
A．3
B．2
C．2或3
D．-2或-3

8. 难度：中等

已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角．若=（-3，4），=（0，2），则|×|的值为（ ）
A．-8
B．-6
C．6
D．8

9. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+1，对于任意正数a，|x₁-x₂|＜a是|f（x₁）-f（x₂）|＜a成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

10. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=r²，点P（a，b）（ab≠0）是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l₁，直线l₂的方程为ax+by+r²=0，那么（ ）
A．l₁∥l₂，且l₂与圆O相离
B．l₁⊥l₂，且l₂与圆O相切
C．l₁∥l₂，且l₂与圆O相交
D．l₁⊥l₂，且l₂与圆O相离

二、填空题

11. 难度：中等

若函数f（x）=ln（x²+ax+1）是偶函数，则实数a的值为    ．

12. 难度：中等

已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|a≤x≤a+3}，若A⊆B，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=    ，若a_n=145，则n=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，OP=3cm，弦CD过点P，且，则CD的长为    cm．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）求的值；                
（2）若，求cos2α的值．

17. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

18. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明△PBC为直角三角形．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．