2012年山西省大同一中、同媒一中高三第三次考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，若a-|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．b-a＞0
B．a³+b³＜0
C．a²-b²＜0
D．b+a＞0

2. 难度：中等

已知，则sin2x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₉-的值是（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17

4. 难度：中等

若平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为（ ）
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

5. 难度：中等

给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f（x）=log₂x，则f（|x|）是偶函数．
其中不正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③

6. 难度：中等

使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[-，0]上为减函数的θ值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

7. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2，S_3n=14，则S_4n等于（ ）
A．16
B．26
C．30
D．80

8. 难度：中等

数列{a_n} 满足a_n+1=若a₁=，则a₂₀₀₇=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，（+）•=||²，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

10. 难度：中等

f（x）的定义域为R，且f（x）=，若方程f（x）=x+a有两不同实根，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．（0，1）
D．（-∞，+∞）

11. 难度：中等

函数f（x）=x³+bx²+cx+d的大致图象如图所示，则x₁²+x₂²等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

有六根细木棒，其中较长的两根分别为a、a，其余四根均为a，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为（ ）
A．0
B．
C．0或
D．以上都不对

二、填空题

13. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x∈Z||x-3|＜2}，则集合C_UA=    ．

14. 难度：中等

已知sinα=，则sin⁴α-cos⁴α的值为    ．

15. 难度：中等

若log_mn=-1，则3n+m的最小值是    ．

16. 难度：中等

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设（a＞0，且a≠1）则：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的单调性为    ；
（2）当f（x）为R内的等射函数时，a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=kn²+n，n∈N*，其中k是常数．
（I）求a₁及a_n；
（II）若对于任意的m∈N*，a_m，a_2m，a_4m成等比数列，求k的值．

19. 难度：中等

如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

20. 难度：中等

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．

21. 难度：中等

已知函数，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

22. 难度：中等

已知函数（b、c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求b，c的值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在（x₁，x₂）上单调递减，又满足x₂-x₁＞1．求证：b²＞2（b+2c）．