2012年福建省福州市高三3月质量检查数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点坐标为（ ）
A．（-1，0）
B．（0，-1）
C．（1，0）
D．（0，1）

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x³＞0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x³≥0
B．∀x∈R，x³≤0
C．∃x∈R，x³＜0
D．∀x∈R，x³＞0

3. 难度：中等

集合M={ x∈N^*|x（x-3）＜0}的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：

分组	[100，110]	（110，120]	（120，130]	（130，140]	（140，150]	（150，160]
频数	1	3	4	6	a	2

根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于140克的苹果数约占苹果总数的（ ）
A．10%
B．30%
C．70%
D．80%

5. 难度：中等

执行如下程序框图后，若输出结果为-1，则输入x的值不可能是（ ）

A．2
B．1
C．-1
D．-2

6. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁，其正视图是边长为a的正方形．俯视图是边长为a的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）

A．a²
B．a²
C．a²
D．a²

7. 难度：中等

在区间（0，）上随机取一个数x，使得0＜tanx＜1成立的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若x、y∈R，且，则k=的最大值等于（ ）
A．3
B．2
C．1
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若=x+（1-x） ，则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，+∞）
C．（-1，0）
D．（0，1）

10. 难度：中等

若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．（1，2）
C．（1，）
D．（，+∞）

11. 难度：中等

函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）

A．x=
B．x=
C．x=4
D．x=2

12. 难度：中等

已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x₁，x₂∈R（ x₁≠x₂），下列结论正确的是（ ）
①f（x）＜0恒成立；
②（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0；
③（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
④；
⑤．

A．①③
B．①③④
C．②④
D．②⑤

二、填空题

13. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x 满足f（m）•f（n）=2，则mn的最大值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a=2，b=2，B=60°，则sinC=    ．

16. 难度：中等

对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=，点（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直线y=x+上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

某教室有4扇编号为a、，b、c、d的窗户和2扇编号为x、y的门，窗户d敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．
（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A，请列出A包含的基本事件；
（Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标为（3，3），=6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．

21. 难度：中等

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂．求当PB取得最小值时的V₁：V₂值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
（i）求实数a的值；
（ii）若对于“x₁，x₂∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．