2012年四川省南充高中第二次高考适应性考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若A={2，3，4}，B={x|x=mn，m、n∈A且m≠n}，则集合B有（ ）个非空真子集．
A．3
B．6
C．7
D．8

2. 难度：中等

=（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

3. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）在区间[1，4]上单调递减，且f（x）是偶函数，则下列不等式成立的是（ ）
A．f（）＞f（-）
B．f（-1）＜f（3）
C．f（-π）＞f（3.14）
D．f（-2）＜f（3）

4. 难度：中等

已知点M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点P的坐标为（ ）
A．（1，）
B．（8，-1）
C．（-8，1）
D．（-1，-）

5. 难度：中等

若函数f（x）=e^xsinx（e是自然对数的底数），则此函数在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．0
C．钝角
D．锐角

6. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若＜，＞=60°，则直线：xcosα-ysinα+=0与圆：（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（ ）
A．相交
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离

8. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知m∈N^*，a，b∈R，若，则a•b=（ ）
A．-m
B．m
C．-1
D．1

10. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（ ）

A．S₁＜S₂
B．S₁＞S₂
C．S₁=S₂
D．S₁，S₂的大小关系不能确定

11. 难度：中等

一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点P处进，Q点处出，沿图中线路游览A、B、C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（ ）种．

A．6
B．8
C．12
D．48

12. 难度：中等

对于一切实数，当a，b，c（a≠0，a＜b）变化时，所有二次函数f（x）=ax²+bx+c的函数值恒为非负实数，则的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

展开式中的常数项是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=kx+-4（k∈R），f（lg2）=0则．f（lg）=    ．

15. 难度：中等

已知正四面体A-BCD，它的内切球（与四个面都相切的球）半径为r，外接球（过正四面体的四个顶点的球）的半径为R，则=    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，
求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

18. 难度：中等

甲、乙两人独自破译一个密码，他们能独立译出密码的概率分别为和．
①求甲、乙两人都不能译出密码的概率；
②假设有3个与甲同样能力的人一起独自破译该密码（甲、乙两人均不参加），求译出该密码的人数ξ概率分布和数学期望．

19. 难度：中等

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

20. 难度：中等

已知动点P的轨迹方程为：-=1（x＞2），O是坐标原点．
①若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，求实数m的值；
②设过P的轨迹上的点P的直线与该双曲线的两渐近线分别交于点P₁、P₂，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），当λ∈[，]时，求||•||的最值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．

22. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．