2011-2012学年福建省泉州一中高三（下）5月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，集合中的元素之和为（ ）
A．1+6i
B．0
C．2i
D．3

2. 难度：中等

的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．-

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若前11项和S₁₁=11，则a₂+a₅+a₇+a₁₀=（ ）
A．5
B．6
C．4
D．8

4. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知随机变量X服从正态分布N（3，），且P（X＞）=0.1587，则P（≤X≤）=（ ）
A．0.6588
B．0.6883
C．0.6826
D．0.6586

6. 难度：中等

设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（ ）
A．
B．2
C．2
D．4

7. 难度：中等

设A，B为x轴上两点，点M的横坐标为2，且，若直线MA的方程为x-y+1=0，则直线MB的方程为（ ）
A．2x+y-7=0
B．2x-y-1=0
C．x-2y+4=0
D．x+y-5=0

8. 难度：中等

在的展开式中的常数项为p，则=（ ）
A．1
B．3
C．7
D．11

9. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁和F₂，过点F₁的直线l交椭圆于P，Q两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，三行三列的方阵中，从中任取三个数，则至少有两个数最大公约数大于1 的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

向量=（1，2），=（x，1），=+，=-，若∥，则实数x的值等于    ．

12. 难度：中等

若x₁，x₂分别为三次函数的极大值点和极小值点，则以（x₁，0）为顶点，（x₂，0）为焦点的双曲线的离心率e 等于    ．

13. 难度：中等

已知平面α、β、γ及直线l，m，l⊥m，α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，以此作为条件得出下面三个结论：①β⊥γ  ②l⊥α  ③m⊥β，其中正确结论是    ．

14. 难度：中等

若函数（a为常数）在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在可行域内任取一点，规则如图所示，则能输出数对（x，y）的概率为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M、T；
（2）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

17. 难度：中等

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；
（2）成活的株数ξ的分布列与期望．

18. 难度：中等

如图，某旅游区拟在公路l（南北向）旁开发一个抛物线形的人工湖，湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A处的距离相等，并在湖中建造一个三角形的游乐区MNC，三个顶点M，N，C都在湖沿岸上，直线通道MN经过A处．经测算，A在公路l正东方向200米处，C在A的正西方向100米处，现以点C为坐标原点，以线段CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的方程；
（2）试确定直线通道MN的位置，使得三角形游乐区MNC的面积最小，并求出最小值．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C．
（1）求证：D为棱BB₁中点；
（2）为何值时，二面角A-A₁D-C的平面角为60°．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx与g（x）=a²x²+ax+1（a＞0）
（1）设直线x=1与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P，Q，且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，求实数a的值；
（2）f′（x）为f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，+∞），恒成立，求实数m的最大值；
（3）在（2）的条件下且当a取m最大值的倍时，当x∈[1，e]时，若函数h（x）=f（x）-kf′（x）的最小值恰为g（x）的最小值，求实数k的值．

21. 难度：中等

（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C₁的极坐标方程为：，曲线C₂的参数方程为：（θ为参数），试求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．