2012年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|2x-x²＞0}，集合B={y|y=e^x+1}，则A∩B（ ）
A．{x|1≤x＜2}
B．{x|x＞2}
C．{x|x＞1}
D．{x|1＜x＜2}

2. 难度：中等

已知=3i，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+y的值为（ ）
A．0
B．6
C．9
D．-6

3. 难度：中等

已知命题p：对于x∈R恒有2^x+2^-x≥2成立；命题q：奇函数f（x）的图象必过原点，则下列结论正确的是（ ）
A．p∧q为真
B．￢pⅤq为真
C．p∧（￢q）为真
D．￢q为假

4. 难度：中等

已知，是两个向量，则“=3”是“||=3||”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移单位
B．向右平移单位
C．向右平移单位
D．向左平移单位

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1则其通项公式a_n=（ ）
A．3•2^n-1
B．2×3^n-1
C．2ⁿ
D．3ⁿ

7. 难度：中等

如图，三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一点，F、G分别是AC、BC的中点，则在下面的命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG的体积最大值是，真命题的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+）+sinωx（ω＞0）相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

11. 难度：中等

已知P是椭圆+=1上的一点，F₁、F₂是该椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为，则tan∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），且当x∈[0，1]时在f（x）=-x²+1，若a[f（x）]²-bf（x）+3=0在[-1，5]上有5个根x_i（i=1，2，3，4，5），则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

二、填空题

13. 难度：中等

曲线y=2x²在点（1，2）处的切线斜率为    ．

14. 难度：中等

直线y=kx+2与圆x²+y²=4交于A、B两点，且•=2，则||=    ．

15. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为    ．

16. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（-1，-2），若点M（x，y）平面区域上的一个动点，使•（-）+≤0恒成立，则实数m的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），A、B、C为△ABC的内角的内角，其所对的边分别为a，b，c
（1）当•取得最大值时，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，当a=时，求b²+c²的取值范围．

18. 难度：中等

国家统计局发布最新数据显示，2011年11月份全国副省级城市中CPI（消费指数）值位于前15位的城市具体情况如下表：

城市	CPI	序号	城市	CPI	序号
济南	105.2	1	青岛	104.7	2
广州	104.6	3	西安	104.4	4
哈尔滨	104.3	5	厦门	104.2	6
杭州	104.1	7	武汉	104.1	8
深圳	104.1	9	南京	103.9	10
长春	103.9	11	沈阳	103.6	12
大连	103.3	13	成都	103.0	14
宁波	102.6	15

（1）求这15个城市CPI值的平均值及众数
（2）完成下表：

CPI	[102.5，103.0）	[103.0，103.5）	[103.5，104.0）	[104.0，104.5）	[104.5，105.0）	[105.0，105.5）
频数

（3）从[103.0，104.0]区间内随机选取2城市，求恰有1个城市CPI的值在[103.5，104.0）中的概率．

19. 难度：中等

如图，三棱柱中，平面AC′⊥面BB′C′C，∠CC′B′=60°，BC=CC′AC=2，点D、E分别为棱AB，A′C′的中点
（1）求证：DE∥平面BB′C′C；
（2）求四棱锥D-ACEA′的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）过（-1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求△POQ的面积的最大时直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．