2012年安徽省蚌埠二中高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x≤0，x∈R}，B={x|x≥a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围是    ．

2. 难度：中等

已知，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=    ．

3. 难度：中等

某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是    ．

4. 难度：中等

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	0.15	0.1

则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为    ．

5. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=-2x+y的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，则该双曲线的离心率e=    ．

7. 难度：中等

已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y²=8x的焦点，则圆C的方程为    ．

8. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和．若，则=    ．

9. 难度：中等

已知函数y=Asin（φx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ的值为    ．

10. 难度：中等

在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值为    ．

11. 难度：中等

一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x=6cm时，该容器的容积为    cm³．

12. 难度：中等

下列四个命题
①“∃x∈R，x²-x+1≤1”的否定；
②“若x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“A＞30°“sinA＞”的充分不必要条件；
④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ（k∈z）”．
其中真命题的序号是    ．（把真命题的序号都填上）

13. 难度：中等

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知关于x的方程有唯一解，则实数a的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．
（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；
（2）若∥，求sin（2θ+）的值．

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．
（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；
（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

18. 难度：中等

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．
（1）设AB=x米，cosA=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．

19. 难度：中等

函数f（x）=|e^x-bx|，其中e为自然对数的底．
（1）当b=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b＞0时，判断函数y=f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁+++…+=n²+2n（其中常数λ＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当λ=4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和．若对任意n∈N^*，都有（1-λ）S_n+λa_n≥2λⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：（θ为参数）与直线l：（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：．

22. 难度：中等

甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）记“两班得分之和是30分”为事件A，“甲班得分大于乙班得分”为事件B，求事件A，B同时发生的概率．

23. 难度：中等

记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，其中 n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b_n=（1+）（1+） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．