2012年河北省衡水中学高考数学信息卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4，5，6}，A∩B=B，2∈B，则满足条件的集合B的个数共有（ ）
A．64个
B．32个
C．31个
D．63个

2. 难度：中等

在的展开式中，有理项共有（ ）
A．3项
B．4项
C．6项
D．7项

3. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i，-2+i，-1-2i，那么第四个复数是（ ）
A．2-2i
B．-1+i
C．2-i
D．-1-i

5. 难度：中等

要得到函数y=-sin3x的图象，需把函数按______的变化得到．（ ）
A．沿x轴方向向右平移个单位
B．沿x轴方向向左平移个单位
C．沿x轴方向向右平移个单位
D．沿x轴方向向左平移个单位

6. 难度：中等

已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且0＜x≤2时，f（x）=x³-2x²-x+2，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴交点的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

7. 难度：中等

函数f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（ ）
A．m=1，n=1
B．m=1，n=2
C．m=2，n=1
D．m=3，n=1

8. 难度：中等

两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”，则“温洛克”与两端距离都大于1m的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在一个正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方形A₁B₁C₁D₁四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为底面ABCD内一点，线段D₁Q与OP互相平分，则点Q的轨迹为（ ）

A．圆
B．两条线段
C．正方形
D．椭圆

10. 难度：中等

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ

11. 难度：中等

如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a₁和a₂，半焦距分别为c₁和c₂，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（ ）
A．a₁-c₁=a₂-c₂
B．a₁+c₁＞a₂+c₂
C．a₁c₂＞a₂c₁
D．a₁c₂＜a₂c₁

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N^*），且a₂+a₄+a₆=9，则的值是（ ）
A．-5
B．
C．5
D．

二、填空题

13. 难度：中等

三角函数式的值等于    ．

14. 难度：中等

甲、乙、丙、丁、戊五名新同学分配到A，B，C，D四个班中，每班至少一人，其中甲和乙都不去A班，则共有    种分配方案．

15. 难度：中等

已知A，B，E三点在平面α内，点C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD与平面α所成的角等于    ．

16. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC=2sin（B+C）cosB．
（1）判断△ABC的形状；（2）设向量，若，求∠A．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x²+ax+b，点（a，b）为函数的对称中心，设数列{a_n}，{b_n}满足，且，{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求a，b的值；
（2）求证：；
（3）求证：．

19. 难度：中等

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．

20. 难度：中等

在趣味投篮比赛中，每名选手在两种比赛规则中选择一种：（1）每场6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖金30元，否则不获奖；（2）每场最多投6个球，若4个球为连续投进（进四球则比赛结束），则获奖金50元，否则不获奖．已知甲投投进每个球的概率都是．
（1）若甲获奖即可，请帮助甲选择比赛规则，说明理由；
（2）若甲所在小组共有5人，均按照甲所选择的规则投篮，且5人投篮水平相当，则甲应该选择哪种规则，该小组所获奖期望较多？说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记=-λ•若在线段MN上取一点R，使得=λ•，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：．