2012年甘肃省高考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=1-3i，z₂=1+i，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={-2，1，2}，则A∪（∁_UB）等于（ ）
A．∅
B．{1}
C．{1，2}
D．{-1，0，1，2}

3. 难度：中等

已知向量，若与垂直，则λ的值为（ ）
A．-2或0
B．-2或
C．-2
D．

4. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）（x₁≠x₂），有，则（ ）
A．f（-2）＜f（1）＜f（3）
B．f（1）＜f（-2）＜f（3）
C．f（3）＜f（-2）＜f（1）
D．f（3）＜f（1）＜f（-2）

5. 难度：中等

（理科）已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．∅
C．
D．

6. 难度：中等

已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线y=x²-2x+3的顶点为（b，c）则ad=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-2

7. 难度：中等

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交

8. 难度：中等

函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

（文科）将函数f（x）=2cos2x的图象按向量=平移，则平移后得到图象的解析式是（ ）
A．y=2sin2x-2
B．y=2cos2x-2
C．y=2cos2x+2
D．y=2sin2x+2

10. 难度：中等

若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x-y-3=0
B．x+4y-5=0
C．4x-y+3=0
D．x+4y+3=0

11. 难度：中等

若数列，则称数列{a_n}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b₁+b₂+…+b₉=90，则b₄•b₆的最大值是（ ）
A．10
B．100
C．200
D．400

12. 难度：中等

过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．
D．3π

13. 难度：中等

已知f（x）是R上以2为周期的奇函数，且当x∈（0，1）时，，则f（x）在x∈（3，4）时是一个（ ）
A．增函数且f（x）＜0
B．增函数且f（x）＞0
C．减函数且f（x）＜0
D．减函数且f（x）＞0

14. 难度：中等

过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

若不等式|x-a|＜1成立的充分非必要条件是则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

（理科）已知球O的表面积为4π，A，B，C三点都在球面上，且A与B、A与C的球面距离均为，，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

19. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和椭圆的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6

二、填空题

20. 难度：中等

展开式中x⁴的系数为    （用数字作答）．

21. 难度：中等

过点的直线l将圆（x-2）²+y²=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=    ．

22. 难度：中等

已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为    ．

23. 难度：中等

（理科）已知x∈（0，π]，关于x的方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是    ．

24. 难度：中等

关于x的方程的解集是{sinθ，cosθ}，则实数p=    ．

25. 难度：中等

如图，△ABC是正三角形，E、F分别为线段AB、AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCF，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为    ．

三、解答题

26. 难度：中等

（理科）已知函数．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使函数f（x）的导函数f'（x）≥2成立的x的集合．

27. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₄=6，a₆=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等比数列{b_n}各项均为正数，其前n项和T_n，若b₃=a₃，T₂=3，求T_n．

28. 难度：中等

（理科）某中学高一年级美术学科开设书法、绘画、雕塑三门校本选修课，学生可选也可不选，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修书法的概率为0.08，只选修书法和绘画的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88．
（1）依题意分别计算该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率；
（2）用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

29. 难度：中等

（文科）已知函数．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的集合．

30. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）．

31. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较的大小，并说明理由．

32. 难度：中等

（文科）某中学高一年级美术学科开设书法、绘画、雕塑三门校本选修课，学生可选也可不选，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修书法的概率为0.08，只选修书法和绘画的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88．
（1）依题意分别计算该学生选修书法、绘画、雕塑三门校本选修课的概率；
（2）用a表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，记“f（x）=x²+ax为R上的偶函数”为事件A，求事件A发生的概率．

33. 难度：中等

（理科）设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；
（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

34. 难度：中等

（文科）设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

35. 难度：中等

（理科）已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若存在x∈[0，1]使不等式f（x）-m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

36. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．