2012年广东省实验中学考前热身训练数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z满足|Z-2i|=1．设|z|_max=m，|z|_min=n，则m•n=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

为了解某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系，统计了（x，y）的10组值，并画成散点图如图1，则其回归方程可能是（ ）

A．=-10x-198
B．=-10x+198
C．=10x+198
D．=10x-198

3. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x²+y²=2}，B={（x，y）|x+y≤2}，设p：x∈A，q：x∈B，则（ ）
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p是q的既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图2，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的主视图（又称正视图）是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为（ ）

A．16
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图3，∠MON的边OM上有四点A₁，A₂，A₃，A₄，ON上有三点B₁，B₂，B₃，则以O，A₁，A₂，A₃，A₄，B₁，B₂，B₃为顶点的三角形个数为（ ）

A．30
B．42
C．54
D．56

6. 难度：中等

定义某种运算s=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：⊗lne+lg100⊗的值是（ ）

A．2
B．8
C．6
D．7

7. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（ ）
A．f（1）＞e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
B．f（1）＜e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
C．f（1）＞e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）
D．f（1）＜e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）

8. 难度：中等

如图：（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．
给出下说法：
①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；   ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；
③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．
其中所有说法正确的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前10项之和为30，前20项之和为100，则a₃+a₂₈=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sin6x的部分图象如图所示，若在矩形OACD内随机取一点，则该点落在图中阴影部分的概率是    ．

11. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，若，则a₂₀₁₂=    ．

12. 难度：中等

若点P在曲线C₁：上，点Q在曲线C₂：（x-5）²+y²=1上，点R在曲线C₃：（x+5）²+y²=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是    ．

13. 难度：中等

一科研人员研究A、B两种菌．已知在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值10¹⁰．为便于研究，科研人员用P_A=lgn_A来记录A菌个数的资料，其中n_A为A菌的个数，则下列说法：①P_A≥1；②若今天的P_A值比昨天的P_A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科研人员将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜P_A＜5.5．其中正确的序号为    ．

14. 难度：中等

（极坐标、参数方程选做题）⊙O₁和⊙O₂的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．则经过⊙O₁，⊙O₂交点的直线的直角坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M=30°，切线AP长为，则圆O的直径长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值．

17. 难度：中等

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
投资A项目一年后获得的利润X₁（万元）的概率分布列如下表所示：

X1	11	12	17
P	a	0.4	b

且X₁的数学期望E（X₁）=12；
投资B项目一年后获得的利润X₂（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X₂的关系如下表所示：

X（次）		1	2
X2（万元）	4.12	11.76	20.40

（1）求a，b的值；
（2）求X₂的分布列；
（3）若E（X₁）＜E（X₂），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．

19. 难度：中等

如图所示，F是抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，点R（1，4）为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5．
（1）求抛物线方程；
（2）已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．求直线l的斜率的取值范围并证明|PM|=|PN|．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）试研究数列{a_n}为等比数列的条件，并证明你的结论．

21. 难度：中等

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x） 在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对∀x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若，证明：（i，n∈N^*）．