2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（七）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-∞，1）
C．（1，+∞）
D．（3，+∞）

2. 难度：中等

若实数x，y满足（x+5）²+（y-12）²=14²，则x²+y²的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=-（ ）
A．是偶函数但不是奇函数
B．是奇函数但不是偶函数
C．既是偶函数又是奇函数
D．既不是偶函数也不是奇函数

4. 难度：中等

直线与椭圆相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

已知两个实数集合A={a₁，a₂，…，a₁₀₀}与B={b₁，b₂，…，b₅₀}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f（a₁）≤f（a₂）≤…≤f（a₁₀₀），则这样的映射共有（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

由曲线x²=4y，x²=-4y，x=4，x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V₁，满足x²+y²≤16，x²+（y-2）²≥4，x²+（y+2）²≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V₂，则（ ）
A．V₁=V₂
B．V₁=V₂
C．V₁=V₂
D．V₁=2V₂

二、填空题

7. 难度：中等

已知复数Z₁，Z₂满足|Z₁|=2，|Z₂|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=    ．

8. 难度：中等

将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有    个．

9. 难度：中等

如图，点P₁，P₂，…，P₁₀分别是四面体顶点或棱的中点．那么，在同一平面上的四点组（P₁，P_i，P_j，P_k）（1＜i＜j＜k≤10）有     个．

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1且对任意x∈R都有：f（x+5）≥f（x）+5与f（x+1）≤f（x）+1成立，若g（x）=f（x）+1-x，则g（2002）=    ．

11. 难度：中等

若log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1，则|x|-|y|的最小值是    ．

12. 难度：中等

使不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

如图，已知点A（0，2）和抛物线y²=x+4上两点B、C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

14. 难度：中等

曲线P，P₁，P₂，…，已知P所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求．

15. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．