2012年河北省衡水中学高考数学信息卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4，5}的集合A共有（ ）
A．8个
B．7个
C．6个
D．31个

2. 难度：中等

定义运算，则符合条件的复数z的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知，若非零向量满足，则的取值范围为（ ）
A．[0，1]
B．（0，1）
C．（0，1]
D．（0，+∞）

4. 难度：中等

甲乙丙三人喝酒，规定由丙连掷三次硬币决定谁喝，若掷得的结果正面向上的频率大于等于（掷一次决定一次），则甲喝一杯，否则由乙丙二人一人一杯轮流喝，那么首先甲连喝三杯的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧面AB₁内有一动点P到A₁B₁与BC的距离之比为定值，则动点P所在的曲线可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知的展开式中没有常数项，n∈N^*且2≤n≤8，则n的值共有（ ）
A．1个
B．2个
C．4个
D．0个

7. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在两项a_m，a_n，使得，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．不存在

8. 难度：中等

已知椭圆方程是椭圆的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，过P点任作一条割线AB（如图），则∠AFM与∠BFN的大小关系为（ ）

A．∠AFM＞∠BFN
B．∠AFM＜∠BFN
C．∠AFM=∠BFN
D．无法判断

9. 难度：中等

函数y=f（x-1）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若y=g（x）过点（2，0），则函数y=f（x）必过点（ ）
A．（2，0）
B．（0，2）
C．（1，2）
D．（-1，2）

10. 难度：中等

设a＞1，若存在常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足xy=a^c，则a的取值范围为（ ）
A．{2}
B．（1，2]
C．[2，+∞）
D．[2，3]

11. 难度：中等

二面角α-MN-β等于45°，A∈MN，P∈α，若∠PAN=45°，则AP与β所成的角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2处有极小值，则函数f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．无法判断

二、填空题

13. 难度：中等

三位老师和三名学生排成一排照相，学生甲必须排在三位老师的左边，共有    种排法．

14. 难度：中等

已知，那么sin2x=    ．

15. 难度：中等

已知f（x+1）是偶函数，则y=f（2x）的图象的对称轴是直线    ．

16. 难度：中等

半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值为（S为三角形的面积）    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，且A=30°，．
（1）求cosC的值；
（2）若a=5，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（Ⅰ）当p=q=时，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）当，时，求ξ的分布列和E（ξ）．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的首项，且a_n+1=，记b_n=a_2n-1，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{c_n}的前n项和为S_n，c_n=nb_n，求S_n．

21. 难度：中等

已知双曲线，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为，．
（1）设，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）若，求当 取得最小值时，求此双曲线的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
①求t的取值范围；
②若a+c=2b²，求t的值．
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．