2013年浙江省嘉兴一中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3，}，B={2，4}，则A∩（∁_UB）（ ）
A．{1，3}
B．{2，4}
C．{1，2，3，5}
D．{2，5}

2. 难度：中等

若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）

A．2
B．4
C．6
D．12

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=40，a₄+a₅+a₆=20，则前9项之和等于（ ）
A．50
B．70
C．80
D．90

4. 难度：中等

已知m，a都是实数，且a≠0，则“m∈{-a，a}”是“|m|=a成立的”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．不充分也不必要条件

5. 难度：中等

右图所示的程序框图中的输出结果是（ ）

A．2
B．4
C．8
D．16

6. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

7. 难度：中等

设向量，满足，，则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（ ）
A．[1，]
B．[，1]
C．[1，2]
D．[，2]

9. 难度：中等

在正实数集上定义一种运算*：当a≥b时，a*b=b³；当a＜b时，a*b=b²，则满足3*x=27的x的值为（ ）
A．3
B．1或9
C．1或
D．3或3

10. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x²+y²=a²的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=sinx+cosx在点处的切线斜率为    ．

12. 难度：中等

已知复数为虚单位），满足az²+bz+1=0（a，b为实数），则a+b=    ．

13. 难度：中等

平面上两定点A，B之间距离为4，动点P满足PA-PB=2，则点P到AB中点的距离的最小值为    ．

14. 难度：中等

随机变量X的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若EX=，则DX的值是    ．

15. 难度：中等

已知圆O的方程为x²+y²=2，圆M的方程为（x-1）²+（y-3）²=1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是    ．

16. 难度：中等

已知关于x的方程x²+a|x|+a²-9=0只有一个实数解，则实数a的值为    ．

17. 难度：中等

形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n+1-3a_n=3ⁿ，（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=3^-na_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．

20. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB．
（1）设M是线段CD的中点，求证：AM∥平面BCE；
（2）求直线CB与平面ABED所成角的余弦值．

21. 难度：中等

如图，已知直线l₁：y=2x+m（m＜0）与抛物线C₁：y=ax²（a＞0）和圆C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．